Crescimento estocástico em tempo contínuo


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Literatura: Veja Chang (1988) para a parte teórica e Achdou et al. (2015) para parte numérica, respectivamente.

Modelo

Considere o seguinte problema estocástico de crescimento ideal em notação per capita. tudo é padrão, exceto que é o incremento de um processo Wiener padrão, ou seja, z (t) \ sim \ mathcal {N} (0, t) . A taxa de crescimento populacional tem média n e variância \ sigma ^ 2 .

maxc0eρtu(c)dts.t.   dk=[f(k)(nσ2)kc]dtσkdzc[0,f(k)]k(0)=k0
dzz(t)N(0,t)nσ2

Solução Analítica

Presumimos que a tecnologia Cobb-Douglas

f(k)=kα,α(0,1)

e utilitário CRRA

u(c)=c1γ1γ,γ>1.
Configure o Hamilton-Jacobi Equação de Bellman (HJB-e)
ρv(k)=maxc{c1γ1γ+v(k)(kα(nσ2)kc)+v(k)k2σ22}

A condição de primeira ordem (FOC) lê

c=v(k)1γ=:π(k)
que π() denota a função de política.

Substitua o FOC em HJB-e

ρv(k)=v(k)γ1γ1γ+v(k)kαv(k)(nσ2)kv(k)γ1γ+v(k)k2σ22.

Supomos que uma forma funcional de v(k) com ( Posch (2009, eq. 41) )

v(k)=Ψk1αγ1αγ

onde Ψ é alguma constante. A derivada de primeira e segunda ordem de v é dada por

v(k)=Ψkαγv(k)=αγΨk1αγ.

O HJB-e então lê

ρΨk1αγ1αγ=Ψγ1γkα(1γ)1γ+Ψkα(1γ)(nσ2)Ψk1αγΨγ1γkα(1γ)αγΨk1αγσ22k1αγ(ρ1αγ+nσ2(1αγ2))=kα(1γ)[1+Ψ1γγ1γ]

O HJB-e maximizado é verdadeiro se as seguintes condições forem mantidas:

ρ=(-n+σ2(1-αγ2))(1-αγ)Ψ=(γ-1γ)-γ

Substitua em que finalmente fornece a verdadeira função de valor v v ( k ) = ( γ - 1Ψv

v(k)=(γ-1γ)-γk1-αγ1-αγ.
  • Como é que não depende de ?σvσ

Portanto, a função de valor determinístico e estocástico deve ser a mesma. A função de política é prontamente fornecida por (use FOC e derivada da função de valor)

π(k)=(1-1γ)kα.

Observe que essa função também não depende de .σ

Aproximação Numérica

Eu resolvi o HJB-e por um esquema contra o vento. Tolerância a erros . Na figura abaixo, planto a função de política para variar . De , chego à solução verdadeira (roxo). Mas para a função política aproximada desvia da verdadeira. O que não deve ser o caso, uma vez que não depende de , certo? σ σ 0 σ > 0 π ( k ) σϵ=1e-10σσ0 0σ>0 0π(k)σ

  • Alguém pode confirmar que as funções políticas aproximadas devem ser as mesmas para qualquer , já que a verdadeira é independente de ?σσσ

insira a descrição da imagem aqui


O que me incomoda aqui é a primeira condição "iff" depois de escrever "o HJB-e maximizado é verdadeiro se as seguintes condições forem válidas": esta é uma relação de igualdade muito específica que deve ser mantida entre todos os parâmetros dos parâmetros de preferência do modelo , crescimento populacional, produtividade de capital e volatilidade. Eu me pergunto: podemos realmente trabalhar com funções adivinhadas cuja validade depende de uma condição tão estreita nos parâmetros?
Alecos Papadopoulos

Bem, aqui eu realmente conserto como uma função dos quatro parâmetros restantes. Portanto, a equação sempre é verdadeira se, além disso, é válido. Eu me pergunto: existe alguma regra quando adivinhar uma função não é permitido? Quero dizer, estamos interessados ​​em encontrar a verdadeira solução e, sob algumas condições específicas, obtemos a verdadeira solução. Não sei o que te incomoda aqui do ponto de vista teórico. Claro, isso pode limitar o trabalho empírico, mas esse não é o ponto aqui. Estamos bastante interessados ​​em resolver o HJBe e isso pode ser feito. Se um empirista (1/2)ρ > 0ρ=ρ(α,γ,n,σ)ρ>0 0
sem noção

estima e descobrimos que a condição é violada, então podemos rejeitar o modelo. No entanto, a solução permanece verdadeira em princípio. (2/2)ρ = . . . .{α,γ,n,ρ,σ}ρ=....
sem noção

Minha preocupação não é com validade empírica. O que me pergunto é: até que ponto o palpite específico sobre a forma funcional da função value depende dessa relação entre os parâmetros. Sem referência a dados empíricos, se assumirmos que a relação não se sustenta, o que então? Deveríamos adivinhar uma função de valor que nem é exponencial em , ou seria suficiente para manter a estrutura exponencial, mas tentaria maneiras diferentes de incluir os parâmetros nela? (a propósito, eu também estou olhando para a sua pergunta principal, uma vez que esta discussão é provavelmente periférica)k
Alecos Papadopoulos

Tem certeza de que o problema de otimização está indicado corretamente? Não existe, por exemplo, expectativa operada, digamos, ? Como é afirmado agora, , portanto, provavelmente assumem qualquer valor, dado o processo de Wiener . k f ( k ) zf(k)kf(k)z
Hans

Respostas:


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Mais um comentário:

Deve haver um operador de expectativa na declaração do problema, caso contrário, o problema não faz sentido.

Que "... a função de valor determinístico e estocástico deve ser o mesmo ..." não está certo. O valor de é crucial na restriçãoσ2

ρ=(-n+σ2(1-αγ2))(1-αγ).

Se , presumivelmente para economicamente razoável e , caso em que o problema determinístico pode estar mal colocado. O que é verdade é que a função de valor estocástico assume o formato fornecido apenas se a restrição de parâmetro for mantida.σ2=0 0ρ<0 0αγ

Factoring o termo Ito do lado direito12σ2

σ2(1-αγ2)(1-αγ),

a restrição pode ser escrita como

ρ+n(1-αγ)=12σ2[(1-αγ)-(-(1-αγ)2)].

No lado direito, temos uma elasticidade do termo de substituição intertemporal e um termo de aversão ao risco . O que a restrição diz é que, com uma escolha específica de , eles se compensam, até a preferência temporal e a deriva . Portanto, a função de valor é independente de .- ( 1 - α γ ) 2 σ ρ n ( 1 - α γ ) σ(1-αγ)-(1-αγ)2σρn(1-αγ)σ

Que a função de valor seja independente de é um artefato da restrição e escolha de CRRA . Não é verdade em geral.uσvocê

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