Crescimento estocástico em tempo contínuo

Literatura: Veja Chang (1988) para a parte teórica e Achdou et al. (2015) para parte numérica, respectivamente.

Modelo

Considere o seguinte problema estocástico de crescimento ideal em notação per capita. tudo é padrão, exceto que é o incremento de um processo Wiener padrão, ou seja, . A taxa de crescimento populacional tem média e variância .

\begin{aligned} max_{c} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c) d t \\ s.t. & d k = [f (k) - (n - σ^{2}) k - c] d t - σ k d z \\ c \in [0, f (k)] \\ k (0) = k_{0} \end{aligned}

$\begin{align} &\max_{c}\int^\infty_0 e^{-\rho t}u(c)dt\\ \text{s.t.}~~~& dk = [f(k) - (n-\sigma^2) k - c]dt - \sigma kdz\\ &c\in[0,f(k)]\\ &k(0) = k_0 \end{align}$

d z

$dz$

z (t) \sim N (0, t)

$z(t)\sim\mathcal{N}(0,t)$

n

$n$

σ^{2}

$\sigma^2$

Solução Analítica

Presumimos que a tecnologia Cobb-Douglas

\begin{aligned} f (k) = k^{α}, α \in (0, 1) \end{aligned}

$\begin{align} f(k) = k^\alpha,\quad \alpha\in(0,1) \end{align}$

e utilitário CRRA

\begin{aligned} u (c) = \frac{c^{1 - γ}}{1 - γ}, γ > 1. \end{aligned}

$\begin{align} u(c) = \frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma},\quad \gamma > 1. \end{align}$ Configure o Hamilton-Jacobi Equação de Bellman (HJB-e)

\begin{aligned} ρ v (k) = max_{c} {\frac{c^{1 - γ}}{1 - γ} + v^{'} (k) (k^{α} - (n - σ^{2}) k - c) + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \max_c\left\{\frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma} + v'(k)(k^\alpha - (n - \sigma^2)k - c) + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}\right\} \end{align}$

A condição de primeira ordem (FOC) lê

\begin{aligned} c = v^{'} (k)^{- \frac{1}{γ}} =: π (k) \end{aligned}

$\begin{align} c = v'(k)^{-\frac{1}{\gamma}}=:\pi(k) \end{align}$ que

π (\cdot)

$\pi(\cdot)$ denota a função de política.

Substitua o FOC em HJB-e

\begin{aligned} ρ v (k) = \frac{v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}}}{1 - γ} + v^{'} (k) k^{α} - v^{'} (k) (n - σ^{2}) k - v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}} + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \frac{v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}{1-\gamma} + v'(k)k^\alpha - v'(k)(n - \sigma^2)k - v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}. \end{align}$

Supomos que uma forma funcional de $v(k)$ com ( Posch (2009, eq. 41) )

\begin{aligned} v (k) = Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \Psi \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} \end{align}$

onde $\Psi$ é alguma constante. A derivada de primeira e segunda ordem de $v$ é dada por

\begin{aligned} v^{'} (k) & = Ψ k^{- α γ} \\ v^{″} (k) & = - α γ Ψ k^{- 1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v'(k) &= \Psi k^{-\alpha\gamma}\\ v''(k) &= -\alpha\gamma\Psi k^{-1-\alpha\gamma}. \end{align}$

O HJB-e então lê

\begin{aligned} ρ Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} = \frac{Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)}}{1 - γ} + Ψ k^{α (1 - γ)} - (n - σ^{2}) Ψ k^{1 - α γ} - Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)} - α γ Ψ k^{1 - α γ} \frac{σ^{2}}{2} \\ ⟺ & k^{1 - α γ} (\frac{ρ}{1 - α γ} + n - σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) = k^{α (1 - γ)} [1 + Ψ^{- \frac{1}{γ}} \frac{γ}{1 - γ}] \end{aligned}

$\begin{align} &\rho \Psi\frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} = \frac{\Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}k^{\alpha(1-\gamma)}}{1-\gamma} + \Psi k^{\alpha(1-\gamma)} - (n-\sigma^2) \Psi k^{1-\alpha\gamma} - \Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} k^{\alpha(1-\gamma)} - \alpha\gamma\Psi k^{1-\alpha\gamma}\frac{\sigma^2}{2}\\[2mm] \Longleftrightarrow \quad & k^{1-\alpha\gamma}\left(\frac{\rho}{1-\alpha\gamma} + n - \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right) = k^{\alpha(1-\gamma)}\left[1+\Psi^{-\frac{1}{\gamma}}\frac{\gamma}{1-\gamma}\right] \end{align}$

O HJB-e maximizado é verdadeiro se as seguintes condições forem mantidas:

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) \land Ψ = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma)\quad \wedge \quad \Psi = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \end{align}$

Substitua em que finalmente fornece a verdadeira função de valor $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v (k) = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma}. \end{align}$

Como é que não depende de ? $v$ $\sigma$

Portanto, a função de valor determinístico e estocástico deve ser a mesma. A função de política é prontamente fornecida por (use FOC e derivada da função de valor)

\begin{aligned} π (k) = (1 - \frac{1}{γ}) k^{α} . \end{aligned}

$\begin{align} \pi(k) = \left(1-\frac{1}{\gamma}\right)k^\alpha. \end{align}$

Observe que essa função também não depende de . $\sigma$

Aproximação Numérica

Eu resolvi o HJB-e por um esquema contra o vento. Tolerância a erros . Na figura abaixo, planto a função de política para variar . De , chego à solução verdadeira (roxo). Mas para a função política aproximada desvia da verdadeira. O que não deve ser o caso, uma vez que não depende de , certo? $\epsilon=1e-10$ $\sigma$ $\sigma\to 0$ $\sigma>0$ $\pi(k)$ $\sigma$

Alguém pode confirmar que as funções políticas aproximadas devem ser as mesmas para qualquer , já que a verdadeira é independente de ? $\sigma$ $\sigma$

— sem noção
fonte

O que me incomoda aqui é a primeira condição "iff" depois de escrever "o HJB-e maximizado é verdadeiro se as seguintes condições forem válidas": esta é uma relação de igualdade muito específica que deve ser mantida entre todos os parâmetros dos parâmetros de preferência do modelo , crescimento populacional, produtividade de capital e volatilidade. Eu me pergunto: podemos realmente trabalhar com funções adivinhadas cuja validade depende de uma condição tão estreita nos parâmetros?

— Alecos Papadopoulos

Bem, aqui eu realmente conserto como uma função dos quatro parâmetros restantes. Portanto, a equação sempre é verdadeira se, além disso, é válido. Eu me pergunto: existe alguma regra quando adivinhar uma função não é permitido? Quero dizer, estamos interessados em encontrar a verdadeira solução e, sob algumas condições específicas, obtemos a verdadeira solução. Não sei o que te incomoda aqui do ponto de vista teórico. Claro, isso pode limitar o trabalho empírico, mas esse não é o ponto aqui. Estamos bastante interessados em resolver o HJBe e isso pode ser feito. Se um empirista (1/2)

ρ = ρ (α, γ, n, σ)

$\rho = \rho(\alpha, \gamma, n, \sigma)$

ρ > 0

$\rho > 0$

— sem noção

estima e descobrimos que a condição é violada, então podemos rejeitar o modelo. No entanto, a solução permanece verdadeira em princípio. (2/2)

{α, γ, n, ρ, σ}

$\{\alpha, \gamma,n,\rho,\sigma\}$

ρ = . . . .

$\rho = ....$

— sem noção

Minha preocupação não é com validade empírica. O que me pergunto é: até que ponto o palpite específico sobre a forma funcional da função value depende dessa relação entre os parâmetros. Sem referência a dados empíricos, se assumirmos que a relação não se sustenta, o que então? Deveríamos adivinhar uma função de valor que nem é exponencial em , ou seria suficiente para manter a estrutura exponencial, mas tentaria maneiras diferentes de incluir os parâmetros nela? (a propósito, eu também estou olhando para a sua pergunta principal, uma vez que esta discussão é provavelmente periférica)

k

$k$

— Alecos Papadopoulos

Tem certeza de que o problema de otimização está indicado corretamente? Não existe, por exemplo, expectativa operada, digamos, ? Como é afirmado agora, , portanto, provavelmente assumem qualquer valor, dado o processo de Wiener .

f (k)

$f(k)$

k

$k$

f (k)

$f(k)$

z

$z$

— Hans

Mais um comentário:

Deve haver um operador de expectativa na declaração do problema, caso contrário, o problema não faz sentido.

Que "... a função de valor determinístico e estocástico deve ser o mesmo ..." não está certo. O valor de é crucial na restrição $\sigma^2$

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) . \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma). \end{align}$

Se , presumivelmente para economicamente razoável e , caso em que o problema determinístico pode estar mal colocado. O que é verdade é que a função de valor estocástico assume o formato fornecido apenas se a restrição de parâmetro for mantida. $\sigma^2 = 0$ $\rho < 0$ $\alpha$ $\gamma$

Factoring o termo Ito do lado direito $\frac{1}{2} \sigma^2$

σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2}) (1 - α γ),

$\sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right) (1-\alpha\gamma),$

a restrição pode ser escrita como

ρ + n (1 - α γ) = \frac{1}{2} σ^{2} [(1 - α γ) - (- {(1 - α γ)}^{2})] .

$\rho + n (1-\alpha\gamma) = \frac{1}{2} \sigma^2 [ (1-\alpha\gamma) - (-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2)].$

No lado direito, temos uma elasticidade do termo de substituição intertemporal e um termo de aversão ao risco . O que a restrição diz é que, com uma escolha específica de , eles se compensam, até a preferência temporal e a deriva . Portanto, a função de valor é independente de . $(1-\alpha\gamma)$ $-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2$ $\sigma$ $\rho$ $n(1 - \alpha\gamma)$ $\sigma$

Que a função de valor seja independente de é um artefato da restrição e escolha de CRRA . Não é verdade em geral. $\sigma$ $u$

— Michael
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