As preferências monotônicas e contínuas são necessariamente racionais?

$\succsim$$X=\mathbb{R}^{n}$

A racionalidade de $\succsim$ implícita nessas condições?

Eu acho que a transitividade está implícita na continuidade. No entanto, a integridade é preocupante, pois existem elementos $x,y \in X$ que não podem ser ordenados com relação a $\leq$ ou $\geq$ e, portanto, não podemos usar a monotonicidade para mostrar que $\succsim$ está completo.

I ter pensado de construção de uma sequência $x_{n}$ com $x_{1}=x$ tais que $x_{n} \to y$ e ambos os $x_{n}\succsim x_{n+1}$ ou $x_{n+1} \succsim x_{n}$ . Então, por transitividade e continuidade, poderíamos mostrar que $x$ e $y$ podem ser ordenados em relação a $\succsim$ , mas não creio que seja possível construir essa sequência.

Qualquer ajuda seria apreciada, mas por favor, dê sugestões e não soluções completas.

Considere uma relação de preferência em tal que e . x=( x 1 , x 2 )≿( y 1 , y 2 )=$\mathbb{R}^2$$x=(x_1,x_2)\succsim (y_1,y_2)=y$ $\iff$ x 2 ≥ y $x_1\geq y_1$$x_2\geq y_2$

1) Você pode argumentar se essa relação de preferência é estritamente monotônica e contínua.

2) A relação definida acima está completa?

Então, como acompanhamento, você também pode reconsiderar sua afirmação de que a continuidade é a causa da transitividade.

Nota: Acabei de escrever este em particular com o objetivo de fornecer um experimento mental. Mais para desafiar sua compreensão. Não tenho certeza se este exemplo fornece uma resposta para sua pergunta ou não.

A questão é se a racionalidade está implícita na continuidade e na monotonicidade. Para mostrar que esse não é o caso, um contra-exemplo seria suficiente. Estamos, portanto, procurando uma relação de preferência intransitiva, incompleta, monótona e contínua.

Suponha que . Assim, formamos preferências sobre os pontos de uma linha de ( 0 , 1 ) a ( 1 , 0 ) . Considere a relação de preferência definida por ( 1 , 0 ) ≻ ( .5 , .5 ) ≻ ( 0 , 1 ) ≻ ( 1 , $X=\{x\geq 0,y\geq 0:x+y=1\}$$(0,1)$$(1,0)$ que está incompleto caso contrário.$(1,0) \succ (.5,.5) \succ (0,1) \succ (1,0)$

Racionalidade

A racionalidade consiste na integridade e transitividade da relação de preferência, definida da seguinte forma:

Completude

Uma relação de preferências estiver concluída, se para todo , temos x ≿ y , y ≿ x , ou ambos.$x,y \in X$$x\succsim y$$y\succsim x$

, portanto, a relação de preferência não está completa.$(.5,.5)\not \succsim (.5,.5)$

Transitividade

Uma relação de preferência é transitória, se e y ≿ z implicam x ≿ z .$x\succsim y$$y \succsim z$$x\succsim z$

e ( .5 , .5 ) ≿ ( 0 , 1 ) mantêm mas ( 1 , 0 ) ≿ ̸ ( 0 , 1 ) , portanto, a relação de preferência não é transitiva.$(1,0)\succsim (.5,.5)$$(.5,.5) \succsim (0,1)$$(1,0)\not \succsim (0,1)$

Continuidade

Uma relação de preferência é contínua se para todas as sequcias convergindo para ( x , y ) com ∀ i : x i ≿ y i temos x ≿ y .${(x_i,y_i)}_{i=1}^{\infty}$$(x,y)$$\forall i: x_i \succsim y_i$$x \succsim y$

A relação de preferência não viola a continuidade. Considere-se uma sequência que converge para x , y . Estas sequências só podem ser tais que x i = x e y i = y , e x ≠ y , uma vez que todos os outros x i , y i quer não convergem para x , y , ou não cumprem x i ≿ y i . Mas é evidente que, se x i ≿ $x_i \succsim y_i$$x,y$$x_i=x$$y_i=y$$x\neq y$$x_i,y_i$$x,y$$x_i \succsim y_i$ então x ≿ y .$x_i\succsim y_i$$x\succsim y$

Monotonicidade

Uma relação de preferência é monótona, se implica x ≿ y .$x \geq y$$x \succsim y$

A relação considera todos os elementos de X incomparáveis, portanto, a relação de preferência é monótona.$\geq$$X$

Assim, temos uma relação de preferência intransitiva, incompleta, monótona e contínua.

Transitividade de preferências apelos para alguma noção "intuitiva" da "consistência da mente humana", e pode-se argumentar que todas as exceções são as "exceções à regra ", e por isso faz tem uma regra abstrata adequada.

Em comparação, a plenitude é muito mais um "salto de fé". Ele paira no ar, decorrente do nada, relacionado ao nada ( então a resposta para sua pergunta é não ). Talvez isso possa ser sustentado por uma observação vulgar de que "se você pressionar uma pessoa o suficiente, ela eventualmente solicitará qualquer par que você colocar na frente dela, mesmo que seja apenas para se livrar de você", mas é claro que isso, enquanto olha bom na prática, nunca funcionará em teoria.

Então, apenas definimos a Completude para existir ... por quê? A fim de evitar problemas bastante incontroláveis no caminho. Quão útil será trabalhar com preferências não completas? Quão útil seria dizer "Eu tenho esse modelo, pode resultar, ou não, dependendo se as preferências estão completas ou não" ... qual é a utilidade dele? Seríamos forçados a criar uma regra de decisão alternativa : "Supondo que as preferências não sejam completas, se a pessoa encontrar um par que não pode pedir ..." - ele faz o quê ? Lançar uma moeda? Mas isso tornaria a "incompletude" equivalente à indiferença ...

O quê mais? Essa linha de pensamento pode ser muito estimulante, mas também é muito desafiadora e certamente inovadora, se é que existe ou pode ser criada. (Na minha opinião, várias explorações teóricas da variedade "difusa" tentam encontrar um "caminho do meio" para exatamente esse problema - onde elas consideram uma situação em que a pessoa não tem preferências completas, nem fica completamente "congelada" quando uma "dificuldade" "par aparece).