Explicação intuitiva de

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Alguém pode fornecer uma explicação intuitiva de por que a matriz Slutsky multiplicada corretamente pelo vetor preço produz uma matriz zero?

Eu sei que isso é verdade, mas eu realmente não entendo por que é verdade. Alguém pode ajudar aqui?

microeconomics

— Microhelp
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Esta é uma propriedade matemática geral da segunda matriz derivada / Hessiana de funções multivariadas homogêneas do grau um.

A função de despesa é homogênea do grau um em preços. Por quê? Se todos os preços mudam na mesma proporção (que é como verificamos a propriedade matemática da homogeneidade), os preços relativos não mudam. Se os preços relativos não mudarem, a composição quantitativa do pacote de consumo compensado de custo mínimo para atingir uma determinada utilidade não muda de maneira alguma . Então, como todos os preços aumentaram na mesma proporção, as participações orçamentárias permanecem as mesmas, e as despesas necessárias para alcançar a mesma utilidade aumentam nessa mesma proporção: homogeneidade do primeiro grau. $E$

Por dualidade, o vector demanda hicksiana é a inclinação da função de despesas, . $H = \nabla_p E$

O vetor de demanda Hicksian, fornece quantidades de custo mínimo exigido. Devido à homogeneidade do grau um da função Despesas, o produto interno do vetor de demanda Hicksian vezes o vetor preço é igual à função Despesas. Isso também deve ser intuitivo: basta multiplicar cada quantidade demandada pelo preço unitário que deve ser pago por ela e, somando esses produtos, obtemos a despesa total em que devemos incorrer para adquirir o pacote de custo mínimo para uma determinada utilidade.

Então temos (simplificando notação diferenciação) enquanto também . Portanto também $E = H\cdot p$ $\frac {\partial}{\partial p}E = H$

\frac{\partial}{\partial p} (H \cdot p) = H ⟹ H + \frac{\partial H}{\partial p} \cdot p = H

$\frac {\partial}{\partial p}(H\cdot p) = H \implies H + \frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = H$

e deve ser o caso que

\frac{\partial H}{\partial p} \cdot p = 0

$\frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = 0$

Portanto, o vetor de demanda Hicksian é homogêneo de grau zero nos preços (matematicamente, isso é uma conseqüência do teorema de Euler para funções homogêneas, ou seja, se uma função é homogênea com grau de homogeneidade , seu gradiente tem grau de homogeneidade ). $k$ $k-1$

Mas a primeira derivada (jacobiana) da demanda hicksiana (que é a matriz hessiana das segundas derivadas da função Despesas) é a matriz Slutsky, $\frac {\partial^2 E}{\partial p^2}=\frac {\partial H}{\partial p} = S(p,w)$ $S(w,p) \cdot p = 0$

Portanto, o resultado decorre da homogeneidade do grau um da função Despesas. Existe uma explicação intuitiva, analogamente à intuição por trás da homogeneidade do grau um da função Despesas? Bem, o primeiro vem diretamente do segundo, por isso é difícil chegar a um argumento intuitivo "separado". Pode-se dizer informalmente que as quantidades compensadas demandadas são "independentes" da (não afetada pela) variação de preços quando os preços relativos permanecem os mesmos. Então, em termos geométricos, isso significa que os vetores de taxas de variação das quantidades compensadas demandadas (que é o que cada linha da matriz Slutsky contém) são ortogonais ao vetor de preços.

— Alecos Papadopoulos
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Uau. Esta é uma resposta fantástica.

— 123

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Não sei se você considerará isso uma explicação, ou melhor, uma prova.

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ $p^\ast$ $\delta$

f (p^{*} + δ) ≃ f (p^{*}) + δ \times {\frac{d f}{d p} |}_{p = p^{*}}

$f(p^\ast+\delta)\simeq f(p^\ast)+\delta\times \left.\frac{df}{dp}\right|_{p=p^\ast}$

$h_i:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$

h_{i} (p^{*} + δ) ≃ h_{i} (p^{*}) + {\frac{\partial h_{i} (p)}{\partial p_{1}} δ_{1} |}_{p = p^{*}} + \dots + {\frac{\partial h_{i} (p)}{\partial p_{n}} δ_{n} |}_{p = p^{*}}

$h_i(\mathbf{p^\ast+\delta})\simeq h_i(\mathbf{p^\ast})+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_1}\delta_1\right|_{p=p^\ast}+\dots+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_n} \delta_n\right|_{p=p^\ast}$

$\mathbf{p^\ast}$ $\mathbf{p^\ast(1+\Delta)}$ ${p_j^\ast}$ $\Delta \times {p_j^\ast}$ $h_i$ $\delta$ $\Delta \mathbf{p^\ast}$ $S(\mathbf{p},w)\cdot \mathbf{p}=0$

Dito de outra forma, como a demanda hicksiana por qualquer bem não responde a uma mudança nos preços que mantém os preços relativos iguais, então, se observarmos o total dos efeitos individuais dessas mudanças de preço em um bem, devemos observar um 0 alteração.

— ramazan
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$x(\alpha p,\alpha w)=x(p,w) \forall \alpha > 0$ $D_px(p,w)p+D_wx(p,w)w=0$ $p'x(p,w)=w$ $x(p,w)'p=w$ $S(p,w)p=0$

— user157623
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