Qual é o propósito da suposição de não saciedade local no primeiro teorema do bem-estar?

A premissa de maximização de lucro implica

E se x_{Eu} ≻ x_{Eu}^{*} então p_{Eu} x_{Eu} > p_{Eu} W_{Eu}

$\text{if } x_i \succ x_i^* \text{ then } p_ix_i > p_i w_i$

Ok, então isso apenas diz que se o agente é maximizador / racional de utilidade, se ele não escolher um pacote estritamente preferível ao seu pacote, ele não deverá ser acessível.

Por que a suposição de não saciedade local é necessária para dizer então

E se x_{Eu} ⪰ x_{Eu}^{*} então p_{Eu} x_{Eu} \geq p_{Eu} W_{Eu}

$\text{if } x_i \succeq x_i^* \text{ then } p_ix_i \geq p_i w_i$

Por que isso não é automático apenas da suposição de maximização de lucro? Se soubermos $x_i \succ x_i^* \implies p_ix_i > p_i w_i$ , não é óbvio que $x_i = x_i^* \implies p_ix_i = p_i w_i$ e entao

E se x_{Eu} ⪰ x_{Eu}^{*} então p_{Eu} x_{Eu} \geq p_{Eu} W_{Eu}

$\text{if } x_i \succeq x_i^* \text{ then } p_ix_i \geq p_i w_i$

preferences welfare-economics

— Stan Shunpike
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Respostas:

As suposições são diferentes. Primeiro, afirma-se que, se um pacote é melhor que o pacote ideal, o consumidor não pode pagar. O segundo afirma que, se um pacote é tão bom (não necessariamente melhor) que o pacote ideal, ele deve custar pelo menos tanto quanto não menos.

Considere um espaço com apenas um tipo de bem, $x$ e uma função de utilitário $U(x) = 0$ . Que a investidura do consumidor seja $w = 1$ . Enquanto

E se x_{Eu} ≻ x_{Eu}^{*} então p_{Eu} x_{Eu} > p_{Eu} W_{Eu}

$\text{if } x_i \succ x_i^* \text{ then } p_ix_i > p_i w_i$ ainda é verdade,

E se x_{Eu} ⪰ x_{Eu}^{*} então p_{Eu} x_{Eu} \geq p_{Eu} W_{Eu}

$\text{if } x_i \succeq x_i^* \text{ then } p_ix_i \geq p_i w_i$ não é porque

x^{*} = 0

$x^* = 0$ é ideal e viável, portanto,

x^{*} ⪰ x^{*} E p x^{*} < p W .

$x^* \succeq x^* \text{ AND } p x^* < p w.$ Exemplos mais complicados (bens múltiplos, não saciedade global cumprida) também podem ser construídos.

— Giskard
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A matemática não está me ajudando a entender isso. Como a saciedade local impediria que um mercado atingisse um estado ótimo de pareto?

— BT

@ BT Você postou sua própria pergunta sobre isso, não foi?

— Giskard

Bem, eu postei uma pergunta sobre as condições sob as quais o equilíbrio é garantido como ótimo. A resposta envolve a saciedade local como condição, mas a pergunta não perguntou explicitamente por que era uma condição, e essa é a questão.

— BT

Penso que o problema é que este exemplo não explica o que é não-associação local ou por que é necessário. Em vez disso, fornece um exemplo de por que maximizar a utilidade não implica que a segunda afirmação seja necessariamente verdadeira. Eu teria preferido algo explicando exatamente o que a não-associação local fornece que resolve a situação ... que é o que o título pede. Mas não deixa de ser um exemplo muito inteligente

— Stan Shunpike

@StanShunpike É lamentável que - se eu entendi corretamente agora - o título e o corpo da pergunta sejam muito diferentes. É também lamentável que você não fez comentários quando eu respondeu à pergunta 5 meses atrás ...

— Giskard

Ok, acho que posso entender agora por que a não-associação local é importante para tender a uma alocação ótima do mercado. Considere a figura a seguir, onde todos os círculos representam possíveis alocações e sua posição no gráfico representa a utilidade recebida por cada pessoa em um mercado simples para duas pessoas:

Nesse caso, X, Y, Z e D oferecem à pessoa 1 o mesmo utilitário. Em tal situação, X, Y e Z são todos possíveis equilíbrios, dados mercados completos e comportamento de tomada de preço, mesmo que não sejam pareto-ótimos.

Em uma situação com não-associação local, essa situação não poderia existir e, portanto, é garantido um equilíbrio ideal pareto.

A fraca otimização do pareto não requer não-saciedade local.

— BT
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