A elasticidade unitária deve estar exatamente no meio da curva de demanda?

A elasticidade unitária pode estar em qualquer outro lugar na curva de demanda além do ponto médio?

Quando a função de demanda é linear, $ q = a-bp $, o único ponto é a elasticidade, a unidade está localizada no ponto médio da curva de demanda (linha reta). Isso é geométrico.

A linha de demanda cruzará o eixo vertical $ p $ em $ p = a / b $ e o eixo horizontal $ q $ em $ q = a $. Para elasticidade unitária (em termos absolutos) queremos

$$ \ frac {| dq / dp |} {q} \ cdot p = \ frac {bp} {a-bp} = 1 \ implica p = \ frac {a} {2b} \ implica q = \ frac a2 $ $

Assim, na elasticidade unitária, o preço correspondente está no meio do domínio de preço viável, e a quantidade correspondente está no meio do domínio de quantidade viável.

O diagrama relacionado é

O comprimento $ [AB] $ é igual ao comprimento $ [CD] $, e o comprimento $ [BC] $ é igual ao comprimento $ [DE] $. Mas isso implica que os triângulos $ [ABC] $ e $ [CDE] $ têm dois de seus lados iguais, então necessariamente eles também terão seu terceiro lado igual. Então $ [AC] = [CE] $, o que implica que o ponto de elasticidade unitária $ C $ é o ponto médio da linha de demanda. Obviamente, nenhum outro ponto pode ter elasticidade unitária aqui.

Não, isso é verdade apenas no caso linear. Para um simples contraexemplo, considere $$ D (p) = 1 - \ sqrt {p}. $$ $$ \ epsilon (p) = \ frac {d D (p)} {dp} \ cdot \ frac {p} {D (p)} = - \ frac {1} {2 \ cdot \ sqrt {p}} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {\ sqrt {p}} {1 - \ sqrt {p}} $$ \ begin {eqnarray *} \ epsilon (p) & amp; = & amp; 1 \\ \\ \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {\ sqrt {p}} {1 - \ sqrt {p}} & amp; = & amp; 1 \\ \\ \ sqrt {p} & amp; = & amp; 2 - 2 \ cdot \ sqrt {p} \\ \\ \ sqrt {p} & amp; = & amp; \ frac {2} {3} \\ \\ p & amp; = & amp; \ frac {4} {9}. \ end {eqnarray *} Isso não está no meio da curva de demanda em nenhum sentido.