Equilíbrio competitivo nas economias de Leontief

Considere uma economia em que todos os consumidores possuam, possivelmente, diferentes utilitários Leontief . Como as preferências não são estritamente convexas, não é garantido que exista um equilíbrio competitivo. Encontrei alguns trabalhos que discutem o problema computacional de decidir se uma economia de Leontief possui um equilíbrio competitivo, mas estou interessado nos resultados da existência geral:

A. Quais condições nas economias de Leontief garantem a existência de um equilíbrio competitivo?

B. Em particular, se as dotações iniciais são iguais (cada um dos agentes recebe uma fração de cada bem), existe um equilíbrio competitivo garantido? $m$ $1/m$

consumer-theory competitive-equilibrium

— Erel Segal-Halevi
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@denesp Por que você excluiu sua resposta? Quase me convenceu ...

— Erel Segal-Halevi

@denesp Ah, entendo! É um não-exemplo interessante :)

— Erel Segal-Halevi

Você pode tentar artigos sobre a existência do equilíbrio de Nash em jogos agregados ou grandes jogos anônimos. Uma economia walrasiana é um jogo desse tipo (o vetor preço é a ação agregada) e um equilíbrio walrasiano é um equilíbrio de Nash. Geralmente os teoremas da existência requerem conjuntos de ações compactos e utilitários contínuos.

— Sander Heinsalu

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

p_{x} = 0

$p_x=0$

U_{A} (x_{1}, x_{2}) = min (x_{1}; x_{2}) and U_{B} (x_{1}, x_{2}) = min (x_{1}; x_{2}) .

$U_A(x_1,x_2) = \min(x_1;x_2) \mbox{ and } U_B(x_1,x_2) = \min(x_1;x_2).$

(3, 2)

$(3,2)$

p_{2} \in R_{+ +}

$p_2 \in \mathbb{R}_{++}$

(0, p_{2})

$(0,p_2)$

x_{2}

$x_2$

2

$2$

x_{1}

$x_1$

2

$2$

(2, 2), (4, 2)

$(2,2),(4,2)$ constituiria um equilíbrio.

— Giskard

Não é necessária uma convexidade estrita de preferências nos resultados da existência para obter um equilíbrio competitivo. As preferências do Leontief são bastante bem-comportadas. Eles são contínuos, convexos e fortemente monotônicos. Se todas as doações são estritamente positivas, o primeiro resultado do artigo original de Arrow-Debreu é a existência de um equilíbrio competitivo em uma economia de troca (ou uma economia de produção que satisfaça as condições padrão) .

Arrow-Debreu, na verdade, não exige apenas convexidade, eles fazem, como apontado por denesp em um comentário, a suposição de convexidade (III.c) nas funções utilitárias que e implica . A convexidade simples é suficiente para a existência, mas as preferências do Leontief também satisfazem a condição (III.c) .: Suponha . Então $u(x)>u(x')$ $0<t<1$ $u(tx+(1-t)x')>u(x')$ $\min\{\alpha_i x_i\}>\min\{\alpha_i x_i'\}$

min {α_{i} (t x_{i} + (1 - t) x_{i}^{'})} > min {α_{i} t x_{i}} + min {α_{i} (1 - t) x_{i}^{'}}

$\min\big\{\alpha_i (tx_i+(1-t)x_i')\big\}>\min\big\{\alpha_i tx_i\big\}+\min\big\{\alpha_i(1-t) x_i'\big\}$

= t min {α_{i} x_{i}} + (1 - t) min {α_{i} x_{i}^{'}} > min {α_{i} x_{i}^{'}} .

$=t\min\{\alpha_i x_i\}+(1-t)\min\{\alpha_i x_i'\}>\min\{\alpha_i x_i'\}.$

— Michael Greinecker
fonte

Arrow-Debreu não exige convexidade estrita na página 269 / III.c ?

— Giskard

@denesp Essa suposição está em algum lugar entre estrita convexidade e convexidade; algumas pessoas chamam de forte convexidade. Notavelmente, ele é satisfeito pelas preferências de Leontief (enquanto a estrita convexidade não é).

— Michael Greinecker

Assim, com a Leontief preferencs, a CE sempre existe? Isso me faz pensar nos artigos que li há dois anos. AFAIR afirmam que decidir se a CE existe é um problema computacional difícil. Como isso pode ser um problema difícil se a resposta é sempre sim? Eu tenho que reler esses papéis para descobrir.

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi Links para alguns dos artigos mencionados seriam legais!

— Giskard

@denesp aqui estão alguns links: doi.org/10.1145%2F1109557.1109629 e doi.org/10.1007%2F978-3-540-73814-5_9 e doi.org/10.1007%2F978-3-540-27836-8_33

— Erel Segal-Halevi