Escrevendo o núcleo como a interseção de resultados eficientes de todas as coalizões

Eu tenho revisado modelos gerais de equilíbrio e estava tentando encontrar um método eficiente para calcular o núcleo de um jogo cooperativo. Eu fui ensinado este tópico de uma forma muito pobre, então acredito que ainda tenho alguns erros conceituais.

Aqui está um pensamento que eu tive:

Suponha que estamos em uma economia com três consumidores, $ A $, $ B $ e $ C $, com o utilitário $ u_ {i} (x) $ definido sobre pacotes $ x \ in \ mathbb {R} ^ {2} $ e dotações $ \ omega_ {i} $ para $ i = A, B, C $. Eu quero calcular o núcleo para esta economia.

Eu sei que o núcleo deve satisfazer: \ begin {align} u_ {A} (x_ {A}) & geq u_ {A} (\ omega_ {A}) \\ u_ {B} (x_ {B}) & geq u_ {B} (\ omega_ {B}) \\ u_ {C} (x_ {C}) & geq u_ {C} (\ omega_ {C}) \\ \ end {align} isto é, o núcleo deve ser racional individualmente. Então vamos $$ D = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {2}: x \ text {é individualmente racional para $ A $, $ B $ e $ C $} \} $$ Eu também sei que o core é um subconjunto dos resultados eficientes, por isso vamos $$ E = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {2}: x \ text {é paretoeficiente} \} $$ Agora aqui está a parte que eu sou Não tenho certeza: sei que o núcleo também não está bloqueado por nenhuma coalizão de duas pessoas. Eu acho que isso significa que qualquer alocação de núcleo é eficiente para qualquer jogo de duas pessoas. Assim eu defino: \ begin {align} F_ {1} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {2}: x \ text {é eficiente no jogo cooperativo com apenas $ A $ e $ B $} \} \\ F_ {2} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {2}: x \ text {é eficiente no jogo cooperativo com apenas $ A $ e $ C $} \} \\ F_ {3} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {2}: x \ text {é eficiente no jogo cooperativo com apenas $ B $ e $ C $} \} \ end {align}

Aqui estão minhas perguntas:

1. A análise acima está correta?
2. Posso escrever o conjunto de alocações principais $ \ mathcal {C} $ como $$ \ mathcal {C} = D \ cap E \ cap F_ {1} \ cap F_ {2} \ cap F_ {3} \ text {? } $$
3. Esse método de solução pode ser generalizado para um jogo com $ n $ players e $ m $ em mercadorias?

Deixe-me saber se alguma coisa não está clara!

1. A maior parte do que você escreve está correta, mas as definições dos conjuntos $ F_i $ são imprecisas. O problema é que no núcleo $ A $ e $ B $ podem obter bens que não correspondem às suas dotações iniciais. Neste caso, não é verdade que a alocação principal $ x $ é Pareto-eficiente na economia restrita de 2 pessoas de $ A $ e $ B $, porque $ x $ não é nem mesmo uma alocação naquele jogo.

Edit: (um exemplo)

Considere as dotações iniciais $$ \ omega_ {A} = (1,1), \ omega_ {B} = (1,1), \ omega_ {C} = (2,2) $$ e uma alocação $ x $ $$ x_A = (2,2), x_B = (2,2), x_C = (0,0). $$ $ A $ e $ B $ não podem melhorar Pareto em $ x $. Mas $ x $ não é uma alocação eficiente em Pareto em sua economia de 2 pessoas, porque não é uma alocação viável de sua economia: $$ x_A + x_B \ neq \ omega_ {A} + \ omega_ {B} $$

Uma definição melhor para os conjuntos $ F_i $ seria algo como:

Vamos denotar o conjunto de alocações possíveis da economia de 2 pessoas de $ A $ e $ B $ por $ Y_ {A, B} \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {2} $. Então $$ F_ {1} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {2}: \ nexiste y \ em Y_ {A, B} \ texto {tal que} u_ {A} (y_ {A}) \ geq u_ {A} (x_ {A}), u_ {B} (y_ {B}) & gt; u_ {B} (x_ {B}) \} $$ Ainda existem alguns problemas com casos em que $ A $ é melhor e $ B $ não é pior, mas se as funções da concessionária forem contínuas, isso não deve causar um problema.

Você pode definir $ F_ {2} $ e $ F_ {3} $ de maneira similar.

Uma observação: $ E $ não é 'especial', é o conjunto de alocações que não podem ser melhoradas pela coalizão de três jogadores. Isso é equivalente a eficiência de Pareto.

2. Sim. Por que não? Isso é exatamente o que é o núcleo.

3. Eu não chamaria isso de solução, porque normalmente você não obtém uma solução única e, em casos extremos, pode não obter solução. Mas sim, toda economia ($ n $ players, $ m $ goods) tem um núcleo, e é definida dessa maneira. (Como indicado, a menos que algumas condições sejam satisfeitas, o núcleo pode estar vazio. Um equilíbrio competitivo é sempre um elemento do núcleo, portanto, se isso existir, o núcleo não estará vazio.)