Alocação justa e eficiente de “bens familiares”

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Considere uma economia de troca com dois bens, por exemplo, móveis para casa (x) e equipamentos elétricos (y). O interessante desses produtos é que, quando uma família é dona de um pacote, todos os membros da família desfrutam do mesmo pacote (é como um "bom clube", mas apenas para a família).

Existem duas famílias. Em cada família, existem membros diferentes com preferências diferentes sobre pacotes configuráveis. Suponha que todas as preferências sejam monotonicamente crescentes e estritamente convexas.

Uma alocação é um par de pacotes configuráveis $(x_1,y_1)$ para a família 1 e $(x_2,y_2)$ para a família 2.

Uma alocação é chamada de inveja se:

Todos os membros da família 1 acreditam que $(x_1,y_1)$ é pelo menos tão bom quanto $(x_2,y_2)$ ;
Todos os membros da família 2 acreditam que $(x_2,y_2)$ é pelo menos tão bom quanto $(x_1,y_1)$ .

Uma alocação é chamada de eficiente de Pareto se não houver outra alocação de pacotes para as famílias, de modo que todos os membros de todas as famílias prefiram fracamente e pelo menos um membro de uma família estritamente prefira.

Em que condições existe uma alocação livre de inveja eficiente em Pareto?

Se cada família tem um único membro, existe uma alocação livre de inveja com eficiência de Pareto; este é um famoso teorema de Varian . Esse teorema foi generalizado de indivíduos para famílias?

— Erel Segal-Halevi
fonte

Definição muito forte de inveja. Alguém poderia adivinhar que de alguma forma agregaria as preferências primeiro e depois alegaria que não há inveja de acordo com as preferências agregadas.

— Giskard

@denesp de fato, pensei em agregar preferências, por exemplo, usar uma função de bem-estar social. Porém, toda seleção de tal função seria arbitrária e não suficientemente motivada.

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi Do que você quer que a gente também assumem que o utilitário de cada membro de cada família é fracamente aumento na quantidade de

e

sua família recebe? Nesse caso, tenho uma condição muito insatisfatória para você, sob a qual existe uma alocação eficiente de Pareto e livre de inveja: Suponha que, para cada família, cada membro dessa família tenha as mesmas preferências ...: P

x

$x$

y

$y$

— Shane

@ A monotonicidade fraca de Shane parece uma suposição razoável. Se, em cada família, todos os membros têm as mesmas preferências, então cada família é como um único agente, por isso estamos de volta ao cenário padrão ...

— Erel Segal-Halevi

E o caso em que

e

? Assumindo fraca monotonicidade, então isso deve ser Pareto e livre de inveja. A partir daí, talvez pudéssemos fazer algumas pequenas mudanças epsilon?

x_{1} = x_{2}

$x_1 = x_2$

y_{1} = y_{2}

$y_1 = y_2$

— Kitsune Cavalry

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No momento, não tenho certeza sobre a equivalência da nova identificação e, portanto, a utilidade dessa resposta - veja os comentários abaixo.

Este é o começo de uma resposta e uma tentativa de demonstrar o quão fortes seriam as premissas necessárias para garantir a existência.

Vamos transformar o problema em um equivalente, mas um pouco mais fácil de trabalhar. Em vez de indexar sobre famílias, vamos indexar sobre os agentes (membros de famílias). A chave para essa nova rotulagem é a compreensão de que as famílias podem ser escritas como restrições: Se os agentes e pertencem à mesma família, em seguida, e . $i$ $j$ $x_i=x_j$ $y_i = y_j$

Agora, estamos de volta ao ambiente padrão com agentes individuais (não famílias), mas com essas restrições familiares. Lembre-se da prova do teorema de Varian, que você vincula na pergunta. Utiliza a existência de um equilíbrio competitivo com rendimentos iguais. Nesse contexto, precisaríamos da existência de um equilíbrio competitivo a partir de rendas iguais, no qual as restrições familiares também fossem atendidas. Isso vai ser muito difícil de fazer. Por exemplo, considere e estão em uma família e $i$ $j$ onde é minúsculo. Essas preferências são monotônicas e convexas. Basicamente, um membro da família se preocupa com e o outro se preocupa com . Se cada um dos dois agentes estiver comprando e para maximizar sua utilidade, você não esperaria que ou no equilíbrio competitivo (consulte oadendono final).

u_{i} = x_{i} + ε y_{i} and u_{j} = ε x_{j} + y_{j}

$u_i=x_i + \varepsilon y_i \:\: \text{ and } \:\: u_j = \varepsilon x_j + y_j$

ε > 0

$\varepsilon>0$

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x_{i}^{*} = x_{j}^{*}

$x_i^* = x_j^*$

y_{i}^{*} = y_{j}^{*}

$y_i^* = y_j^*$

É por isso que você certamente precisa de alguma suposição sobre semelhanças de preferências dentro das famílias (pelo menos para usar uma versão da prova de Varian). Minha opinião é que, se você me der uma diferença arbitrariamente pequena nas preferências entre os membros da família, eu posso construir um exemplo em torno dele onde não exista um CEEI no qual eles escolham a mesma alocação. E então, no mínimo, você não pode usar a prova de Varian.

Duas questões:

Você concorda que minha reformulação do problema é formalmente equivalente à sua?
Você consegue pensar em alguma suposição mais fraca do que assumir uma homogeneidade preferencial dentro da família que eu possa tentar invalidar com um contra-exemplo?

Adendo: Lembre - se de que em um equilíbrio competitivo, a taxa marginal de substituição (MRS) de cada agente é igual à razão de preço. Aqui, meus agentes têm MRSs constantes e diferentes, portanto não pode haver equilíbrio competitivo com uma relação de preço igual a ambas as MRSs. Se cada agente tiver uma MRS que varia, então talvez eles possam ser iguais na relação preço de equilíbrio. Então, talvez você possa se safar com alguma noção de homogeneidade local de preferências familiares. Mas você precisa que eles sejam localmente homogêneos no equilíbrio competitivo, que é exatamente o que você está tentando provar que existe, portanto seria um pouco circular.

Nota importante: Como mencionado anteriormente, estou assumindo que a única maneira de provar a existência é como a Varian fez isso, via CEEI. Pode haver outras técnicas de prova que contornem esses problemas, mas suspeito que não.

Além do CEEI: Como o PO aponta nos comentários, provar a existência de PEEFs através do CEEI, como a Varian faz, é um tanto restritivo. Não tenho muito a dizer sobre a comprovação direta da existência de PEEFs, mas o seguinte é prontamente aparente: para qualquer alocação que satisfaça sua condição de eficiência de Pareto (ignore a inveja do momento), para qualquer tal que , $i,j$ $x_i, x_j, y_i, y_j > 0$

M R S_{i} = M R S_{j}

$MRS_i = MRS_j$ Se isso não fosse verdade, haveria uma melhoria de Pareto. O equilíbrio competitivo essencialmente iguala as MRSs através da razão de preço, mas você ainda precisa equiparar essas MRSs apenas para encontrar uma alocação eficiente de Pareto. Penso que as restrições familiares tornarão isso muito difícil - não é difícil criar um ambiente e restrições familiares de tal forma que não exista um equilíbrio eficiente de Pareto que satisfaça essas restrições. De qualquer forma, esse poderia ser outro passo parcial em direção a uma resposta: esqueça a inveja. Primeiro, tente chegar a uma suposição sobre preferências (e talvez sobre restrições familiares) que garanta a existência de uma alocação eficiente de Pareto que satisfaça as restrições familiares. Então se preocupe com inveja.

— Shane
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u_{1} = 2 x_{1} + y_{1}

$u_1 = 2 x_1 + y_1$

u_{2} = x_{2} + 2 y_{2}

$u_2 = x_2 + 2 y_2$

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Encontrei no artigo original da Varian: sciencedirect.com/science/article/pii/0022053174900751 provas da existência de alocações do PEEF, que não dependem do CEEI e, portanto, são válidas mesmo em situações em que um CEEI não existe (as preferências não são estritamente convexa). Até agora, não consegui entender essas provas, mas elas podem ser relevantes.

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi No seu exemplo, qualquer alocação na qual ambos os agentes obtenham quantidades estritamente positivas de ambos os produtos é Pareto ineficiente, não? Estou lutando para entender seus intervalos. De maneira mais geral, porém, eu concordo com você. Adicionei uma seção adicional sobre a prova de PEEFs diretamente (sem o CEEI). Eu não acho que você ache isso particularmente satisfatório, mas é tudo o que é óbvio para mim agora.

— Shane

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[(x_{1}, 0), (4 - x_{1}, 4)]

$[(x_1,0),(4-x_1,4)]$

x_{1} \in [3, 4]

$x_1\in [3,4]$

[(4, 4 - y_{2}), (0, y_{2})]

$[(4,4-y_2),(0,y_2)]$

y_{2} \in [3, 4]

$y_2\in [3,4]$

— Erel Segal-Halevi

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x_{i}, x_{j}, y_{i}, y_{j}

$x_i,x_j,y_i,y_j$

i

$i$

j

$j$

x_{i} = x_{j} = 1

$x_i = x_j = 1$

x

$x$ , não 2. Agora, estou questionando a equivalência da mudança de nome. As famílias não são apenas uma restrição (na medida em que as pessoas devem compartilhar os mesmos bens), elas também são um benefício, pois os bens são públicos / compartilhados dentro da família.

— 21715 Shane

2

$n_u$ $n_v$ $i$

\begin{array}{rcl} u_{i} (x_{u}, y_{u}) = a_{i} x_{u} + y_{u} \end{array}

$\begin{eqnarray*} u_i(x_u, y_u) = a_ix_u + y_u \end{eqnarray*}$

a_{i}

$a_i$

i \in {1, 2, \dots, n_{u}}

$i\in\{1,2,\ldots, n_u\}$

$j$

\begin{array}{rcl} v_{j} (x_{v}, y_{v}) = b_{j} x_{v} + y_{v} \end{array}

$\begin{eqnarray*} v_j(x_v, y_v) = b_jx_v + y_v \end{eqnarray*}$

b_{j}

$b_j$

j \in {1, 2, \dots, n_{v}}

$j\in\{1,2,\ldots, n_v\}$

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

$X$ $Y$ $(\omega_X, \omega_Y)$

$\theta \in [\max_j b_j, \min_i a_i]$ $m := \displaystyle\frac{\theta\omega_X}{2} + \frac{\omega_Y}{2}$

$\displaystyle\frac{m}{\theta} \leq \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\frac{m}{\theta}, 0\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(\omega_X - \frac{m}{\theta}, \omega_Y\right)$ $\displaystyle\frac{m}{\theta} > \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\omega_X, m-\theta\omega_X\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(0, m\right)$ é uma alocação eficiente de Pareto livre de inveja.

— Amit
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min_{i} a_{i} \geq max_{j} b_{j}

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

Todos os membros da família U tem MRS mais elevados, em seguida, todos os membros da família V.

— Amit

Eu acho que para 2 famílias e preferências lineares, esse requisito pode ser removido. Eu tenho que trabalhar nos detalhes ainda.

— Erel Segal-Halevi

Acho que será difícil remover esse requisito, porque queremos que a alocação seja invejosa. As condições podem não parecer agradáveis, mesmo que de alguma forma estejam relaxadas. Mas esse resultado vale para uma classe maior de funções utilitárias. Será uma boa idéia estender o resultado para incluir preferências de outro tipo. Por exemplo: Também é possível provar uma versão para as preferências do Cobb Douglas.

— 18717

1

Suponha que as preferências de todos os agentes em todas as famílias sejam monótonas e convexas (as suposições padrão da teoria do consumidor).

Então, uma alocação livre de inveja eficiente em Pareto sempre existe quando há duas famílias. No entanto, pode não existir quando houver três ou mais famílias.

Provas e exemplos podem ser encontrados neste documento de trabalho .

— Erel Segal-Halevi
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-2

A declaração do problema parece sugerir que X e Y não podem ser substitutos (um dispositivo elétrico não pode ser usado como mobiliário doméstico).

Uma alocação livre de inveja com eficiência de Pareto existe quando:

Para pelo menos um agente, pelo menos alguns produtos têm utilidade negativa ou são complementos, e os agentes podem optar por não consumir.

Exemplo:

Os agentes A e B estão na família F1.
A função utilitária do agente A é:

Ua = -X1-X2-Y1-Y2

A função utilitária do agente B é:

Ub = X1-X2 + Y1-Y2

Os agentes C e D estão na família 2.
O agente C tem uma função de utilitário:

Uc = -X1-X2-Y1-Y2

O agente D tem a função de utilitário:

Ud = -X1 + X2-Y1 + Y2

Solução:

F1 prefere (X1, Y1) e o agente A prefere não consumir nenhum bem.

F2 prefere (X2, Y2) e o agente C escolhido para não consumir nenhum bem.

Esses argumentos são realmente semânticos e não há equilíbrio significativo sem assumir preferências compartilhadas.

— DJ Sims
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Você poderia talvez tornar suas declarações mais precisas? Por exemplo, o que são "complementos negativos"? E ofereça pelo menos um argumento heurístico que suporte as reivindicações, se não uma prova completa, para que possamos entender seu raciocínio.

— Shane

[0, x_{1}]

$[0,x_1]$

Editou a resposta. Você está correto no segundo ponto. Se for necessário que os agentes consumam, o argumento não se aplica.

— DJ Sims