Aqui está uma abordagem ligeiramente diferente. Vamos ver qual função periódica tem transformada de Fourier exatamente com a frequência .−1
É a função para tt↦e−2πit=cos(−2πt)+isin(−2πt)=cos(2πt)−isin(2πt) .t∈[0,1]
Observe que esta função tem a mesma parte real que a função
. Esta última função possui apenas um componente de frequência - a frequência 1 .t↦e2πit1
O motivo pelo qual essas frequências negativas aparecem quando se considera apenas sinais reais é porque eles fornecem uma maneira mais fácil de descrever autovalores estritamente complexos da ação do círculo unitário em seu espaço funcional.
Editar: para expandir o último comentário, para fazer uma análise de frequência, o que realmente desejamos fazer é ocupar o espaço de funções com valores reais em , F ( [ 0 , 1 ] , R ) e poder expresse qualquer função f ∈ F ( [ 0 , 1 ] , R ) em termos de alguma base natural de F ( [ 0.[0,1]F([0,1],R)f∈F([0,1],R)F([0,1],R). Concordamos que ele realmente não que muito se começarmos nosso período é a 1 ou 1 / 2 a 3 / 2 então nós realmente desejaria que este se comportam base bem com relação ao operador de deslocamento f ( x ) ↦ f ( a + x ) .011/23/2f(x)↦f(a+x)
O problema é que, com adjetivos apropriados, não é uma soma direta de funções que se comportam bem em relação à mudança. É uma soma direta (concluída) de espaços vetoriais bidimensionais que se comportam bem em relação ao operador de mudança. Isso ocorre porque a matriz que representa o mapa f ( x ) ↦ f ( a + x ) possui autovalores complexos. Essas matrizes serão diagonais (em uma base apropriada) se complexificarmos a situação. É por isso que estudamos F ( [ 0 , 1 ]F([0,1],R)f(x)↦f(a+x) vez disso. A introdução de números complexos tem uma penalidade - obtemos um conceito de frequências negativas.F([0,1],C)
Isso tudo é um pouco abstrato, mas, para ver concretamente do que estou falando, considere minhas duas funções favoritas:
sen(2πt)=1
cos(2πt)=12(e2πit+e−2πit)
sin(2πt)=12i(e2πit−e−2πit)
Considere a mudança em ,s(f(x))=f(x+114.
s(cos(2πt))=-sin(2πt)s(sin(2πt))=cos(2πt)
O intervalo real de espaço vetorial decos(2πt)esin(2πtPodemos ver ques2=-1entãos(f(x))=f(x+14)
s(cos(2πt))=−sin(2πt)
s(sin(2πt))=cos(2πt)
cos(2πt) é um espaço vetorial bidimensional de funções que é preservado por
ssin(2πt)ss2=−1s tem autovalores
±i
Esse espaço bidimensional de funções não pode ser decomposto em espaços próprios para menos que o complexifiquemos. Nesse caso, os vetores próprios serão e 2 π i t e e - 2 π i t .se2πite−2πit
Para recapitular, começamos com duas frequências positivas, mas para diagonalizar a ação de tivemos que adicionar a função de frequência negativa e - 2 π i t .se−2πit