Fourier vs. Laplace

Suponha que eu tenha uma rede RLC em uma caixa preta e bata com força no laboratório para obter a resposta ao impulso. Agora, tenho duas opções: posso realizar a transformação de Fourier ou a transformação de Laplace para obter a resposta de frequência. Como sei qual escolher e qual a diferença física entre cada uma?

Foi-me dito que a transformação de Laplace também fornece a resposta transitória ou a deterioração, enquanto a transformação de Fourier não. Isso é verdade? Se eu aplicar repentinamente um sinal sinusoidal na entrada, deverá haver uma resposta transitória por um breve período de tempo em que a saída não seja sinusoidal até o sistema estabilizar. Alguém pode me dar um exemplo prático em termos de uma rede RLC para mostrar como isso é verdade?

Além disso, geralmente na classe de circuitos, tomamos a transformada de Laplace de um circuito em que a parte real de é assumida como zero de qualquer maneira, portanto, quando usamos para indicar a Transformada de Laplace do capacitor, assume-se que isso é equivalente a . Eu acredito que a parte real é zero, já que a corrente através do capacitor está 90 graus fora de fase com a tensão do outro lado - isso está correto? Eu pensei que a transformação de Fourier era a mesma que a transformação de Laplace com \ sigma = 0 . No entanto, isso não parece ser verdade - considere x (t) = u (t) :$s = \sigma + j\omega$$\frac{1}{Cs}$$\frac{1}{j\omega C}$$\sigma = 0$$x(t) = u(t)$

Podemos ver que, mesmo que eu substitua por nenhuma parte real na saída da transformação de Laplace, eles ainda não são iguais. Por que a transformação de Fourier tem um componente de impulso extra, mas Laplace não? Quando posso substituir s = j \ omega e esperar que a transformação de Fourier seja igual à de Laplace?$s = j \omega$$s = j\omega$

Edit: a última parte da minha pergunta tem respostas aqui e aqui .

A transformação de Fourier e de Laplace não são as mesmas. Antes de tudo, observe que, quando falamos sobre a transformada de Laplace, muitas vezes queremos dizer a transformada unilateral de Laplace, onde as integrais da transformação começam em (e não em ), ou seja, com a transformada de Laplace, geralmente analisar sinais e sistemas causais. Com a transformação de Fourier, esse nem sempre é o caso.$t=0$$t=-\infty$

Para entender as diferenças entre os dois, é importante observar a região de convergência (ROC) da transformada de Laplace. Para sinais causais, o ROC é sempre um plano da metade direita, ou seja, não há pólos (de uma função racional em ) à direita de algum valor (onde denota a parte real da variável complexa ). Agora, se , ou seja, se o eixo estiver dentro do ROC, você simplesmente obtém a transformada de Fourier configurando . Se , a transformação de Fourier não existe (porque o sistema correspondente é instável). O terceiro caso ($s$$\sigma_0$$\sigma$$s$$\sigma_0<0$$j\omega$$s=j\omega$$\sigma_0>0$$\sigma_0=0$) é interessante porque aqui a transformação de Fourier existe, mas não pode ser obtida a partir da transformação de Laplace, definindo . Seu exemplo é deste tipo. A transformação de Laplace da função step tem um polo em , que fica no eixo . Em todos esses casos, a transformada de Fourier possui impulsos adicionais nos locais dos polos no eixo .$s=j\omega$$s=0$$j\omega$$\delta$$j\omega$

Observe que não é verdade que a transformação de Fourier não pode lidar com transitórios. Este é apenas um mal-entendido que provavelmente deriva do fato de que frequentemente usamos a transformada de Fourier para analisar o comportamento em estado estacionário dos sistemas aplicando sinais de entrada sinusoidais definidos para . Por favor, veja também esta resposta a uma pergunta semelhante.$-\infty<t<\infty$

Ok, então você bate em uma caixa preta feita de componentes RLC e mede a resposta - a resposta de impulso. Agora você quer saber a resposta em frequência, significando a resposta a qualquer sinusoidal.

Primeiro de tudo, você não pode realmente excitar seu sistema com um senoidal puro. É tarde demais, você deveria ter começado no big bang. O melhor que você pode fazer é usar um senoidal causal, que possui componentes de frequência extra.

Mas digamos que o que você quer saber é a resposta do sistema a uma entrada arbitrária no domínio do tempo. Você realmente não precisa de Fourier ou Laplace para saber disso. Uma convolução servirá.

O que você tem em mãos, realmente? Você mediu a resposta ao impulso. De alguma forma, você planejou, digamos continuamente, em oposição a um ADC que amostrou o sinal - o que geralmente é o que acontece, e você estaria perguntando sobre a transformação Z versus FFT. Vamos supor também que o estrondo que você deu foi um bom delta: forte, mas curto.

Como seu sistema é RLC, ele é linear, portanto os princípios de superposição funcionam (não estaríamos falando sobre isso de qualquer maneira). Qualquer entrada pode ser construída adicionando impulsos atenuados compensados ​​no tempo (mais ou menos - é uma coisa limite). Portanto, a resposta total é apenas adicionar todas essas respostas individuais. Essa adição é exatamente o que a entrada de convolução (t) * impulseResponse (t) faz. Você pode considerar o sistema RLC como um "convoluter de hardware". Essa é provavelmente a maneira mais precisa de prever uma resposta a uma entrada arbitrária.

Agora, quero esclarecer uma coisa, que é como Laplace se relaciona com Fourier. Nosso domínio são funções causais, uma vez que não faz sentido comparar o Laplace unilateral com Fourier de outra forma. Além disso, todos os sinais reais são causais. Matematicamente, a transformação de Laplace é apenas a transformação de Fourier da função pré-multiplicada por um exponencial em decomposição. É simples assim. Portanto, se uma transformação de Fourier não existir porque as integrais são infinitas, Laplace ainda poderá existir se a exponencial decadente for forte o suficiente, porque o intergral da função 'atenuada' convergiria. Do ponto de vista matemático, isso pode ser extremamente útil em certos casos.

Mas o que você realmente pode querer é criar um sistema de controle para sua planta. Nesse caso, o que você faz é inspecionar a resposta e aproximá-la com um modelo de 1ª ou 2ª ordem, mais o atraso do grupo. Portanto, não será exato, mas, ao fazer isso, você reduz todos os pequenos detalhes da resposta real e obtém a enorme vantagem de poder conectar esse modelo a equações e algoritmos de controle e a dezenas de livros de conhecimento da teoria de controle e projete e simule seu sistema de controle. Nesse caso, você usaria um modelo de Laplace, pois obtém imediatamente pólos e zeros que podem ser usados ​​para análise de estabilidade.