Por que a indutância (L) é proporcional ao turn-square (N²)?

Começamos pela equação de Maxwell

$$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu \mathbf{J} + \overbrace{\mu \epsilon \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}}^0.$$

Tomamos a integração da superfície de ambos os lados, para a superfície ( ) dentro do caminho médio ( c ) do núcleo.$s$$c$

$$\int_s \left( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} \right) \cdot d\mathbf{s} = \mu \int_s \mathbf{J} \cdot d\mathbf{s}$$

Usamos o Teorema do Stroke para reescrever o lado esquerdo; onde está na mesma direção do fluxo magnético Φ .$c$$\Phi$

$$\oint_c \mathbf{B} \cdot d \mathbf{\ell} = \mu N I$$

(A integral do lado esquerdo resulta em , porque há N fios diferentes no enrolamento.)$NI$$N$

A densidade do campo magnético dentro desse tipo de núcleo é considerada uniforme. Então, podemos escrever

$$B \ell_c \overset\sim= \mu NI \implies B = \dfrac{\mu NI}{\ell_c};$$

onde é o comprimento médio de percurso do núcleo.$\ell_c$

Podemos encontrar o fluxo magnético a partir da densidade do fluxo magnético que encontramos usando a área da seção transversal do núcleo .$A_c$

$$\Phi = BA_c = \dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}$$

Por definição, indutância é a quantidade de fluxo magnético gerado por corrente aplicada, ou seja,

$$L \overset\triangle= \dfrac{\Phi}{I}.$$

Então, encontramos a indutância do sistema como

$$\boxed{ L = \dfrac{\Phi}{I} = \dfrac{\dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}}{I} = \dfrac{\mu NA_c}{\ell_c} }.$$

Porém, todas as outras fontes ( exemplo ) fornecem a indutância de um indutor como este como

$$L = \dfrac{\mu N^2A_c}{\ell_c}.$$

Qual foi o erro que cometi na minha derivação? Por favor, explique em detalhes.

$N^2$

Outra maneira de expressar essa dependência é dizer: por causa do acoplamento magnético entre as voltas.

Pense em um indutor de uma volta (esquerda abaixo), imagine que a volta única se divide em dois fios paralelos que são enrolados com muita força, de modo que eles ocupam praticamente o mesmo espaço (logo abaixo).

Os dois fios paralelos, para uma dada tensão aplicada, recebem cada metade da corrente do indutor de uma volta e, juntos, recebem a mesma corrente que a única volta: -

Por esse motivo, cada fio paralelo individual DEVE ter o dobro da impedância do fio único e, juntos, quando conectados em paralelo, exibem a mesma impedância que o fio único. OK até agora?

Agora, reorganize esses dois fios (na sua mente) para que eles estejam em série um com o outro. A impedância muda para quatro vezes a impedância: -

Isso significa que a indutância quadruplicou para dobrar as voltas e é trivial estender esse exemplo para n voltas.

Qual foi o erro que cometi na minha derivação? Por favor, explique em detalhes.

A indutância é

$$L = \frac{\lambda}{I} = \frac{N\Phi}{I}$$

$\lambda$