Pergunta teórica sobre a unidade imaginária “j” (análise de circuitos CA)

Comecei a aprender sobre a análise de rede CA e tenho algumas perguntas sobre "j" (ou "i" na minha calculadora), a unidade imaginária. Meu livro não aborda muito isso e pula diretamente para fórmulas e substituições (abordagem mais prática, não teórica). Então, o que exatamente J representa?

Vejo que, se eu desenhar um plano complexo (o eixo y é imaginário, o eixo x é real) e desenhar um círculo unitário nele, um ângulo de 90 ° é , que é "j". Vejo que posso usar essa substituição na forma fasorial quando, digamos, resolver a tensão através de um capacitor quando a corrente através dele é conhecida:$\sqrt{-1}$

Alguém pode me ajudar a entender isso?

Para ser honesto, essa pergunta é bastante vaga, porque nem tenho certeza de como perguntar sobre o que J é; é tão estranho para mim. Eu gostaria de uma explicação do senso comum (quadro geral) sobre seu significado e propósito na análise de circuitos CA. Não estou necessariamente procurando uma explicação matemática rigorosa (embora qualquer explicação matemática necessária seja bem-vinda).

Se você colocar um sinal de menos na frente do número "5", ele se tornará "-5".

Tente e veja isso de forma diferente. Tente pensar que ele gira o número "5" (vinculado à origem por um pedaço de comprimento 5) até 180 graus para se tornar "-5"

OK até agora? Sinais negativos são o mesmo que girar 180 graus ...

Por que não estender isso ainda mais para produzir algo que você pode "colar" na frente de um número positivo que o gira em 90 graus - em EE isso geralmente é chamado de "j" e age para girar um valor (sobre a origem) em 90 graus no sentido anti-horário, ou seja, se você fizer duas vezes (j * j), obterá 180 graus ("-").

$\sqrt{-1}$

Assim como um sinal de menos pode girar qualquer valor positivo até 180 graus, ele pode girar qualquer vetor ou fasor até 180 graus. O mesmo se aplica ao operador j - ele gira qualquer vetor ou fasor 90 graus no sentido anti-horário.

EDIT - esqueci parte da pergunta: -

substituindo j na impedância de um capacitor. Lembre-se de que a fórmula básica para um capacitor é Q = CV e, portanto, diferenciando as variáveis ​​que obtemos: -

$I = \dfrac{dQ}{dt} = C\dfrac{dV}{dt}$

Isso nos diz que, para uma tensão aplicada por onda senoidal através de um capacitor, a corrente também será uma onda senoidal, mas diferenciada em um cosseno como este:

Se você tentasse calcular a impedância (V / I) de um capacitor da relação VI, você entraria em problemas porque, quando eu passo pelo zero, V NÃO é zero, então você obtém infinitos. Se, por outro lado, você aplicar um "j" para colocar a corrente em fase com a tensão, a matemática funcionará bem - a corrente e a tensão estão alinhadas e a impedância com base nos valores instantâneos de V / I faz sentido.

Estou ciente de que você está apenas começando, então tentei manter isso preciso e simples (talvez simples demais para alguns?).

Se você olhar para o indutor, o "j" pode ser aplicado à tensão para alinhá-lo com a corrente, portanto "j" está no numerador da reatância indutiva e j está no denominador da reatância capacitiva. Existem sutilezas por aqui que esperamos que façam sentido à medida que você aprende mais - na verdade, não é coincidência que "j" pareça "seguir" o ômega quando se trata de impedâncias - minha explicação não cobre isso e sua pergunta também não!

$i$$-1$

$-1$$-i$

Se você imaginar uma linha numérica com números reais posicionados horizontalmente. Agora podemos adicionar uma segunda linha numérica verticalmente contendo os números imaginários.

$4 + 3i$

Como um ponto no espaço bidimensional agora pode ser representado como um número único, os cálculos envolvendo vetores bidimensionais são simplificados.

Em eletrônica, ao considerar sistemas fornecidos por uma onda senoidal de frequência única, somos ensinados inicialmente a desenhar diagramas de fasores. Depois, use números complexos para lidar com esses problemas.

$j$$i$$i$

Se você quiser um pouco mais de insight, dê uma olhada nesta pergunta: O que são números imaginários? do site Mathematics Stack Exchange .

Ou dê uma olhada aqui: Um guia visual e intuitivo para números imaginários .

Em matemática, alguém fez a pergunta:

Qual é a solução para x ^ 2 = -1?

Eles inventaram um número e disseram que vamos chamá-lo de "j".

Eles descobriram as consequências de fazer isso. Eles descobriram que isso não levou a nenhuma contradição no âmbito da matemática existente.

Observe que você pode pensar: "ok, por que não apresentar uma carta toda vez que tiver algo insolúvel? Vou ligar para 1/0 = f".

Tente. Nem sempre funciona porque as regras existentes da aritmética quebram. Por exemplo, você pode mostrar que a definição de 1/0 = f permite mostrar que 1 = 2 ou 1 = 3, ...

Tão matematicamente funciona e não levou a nenhuma contradição. De repente, temos uma maneira de "agrupar" duas informações em um único número, devido à maneira como você pode representar um número complexo: em um plano real / imaginário. De repente, podemos manipular um NÚMERO que contém magnitude e fase da mesma maneira que manipulamos "números regulares". Isso é bastante útil.

Em eletrônica, é bastante conveniente poder agrupar duas informações em um número. Portanto, é bastante conveniente usar números complexos. É só isso. Por acaso, queremos acompanhar tanto a magnitude quanto a fase - essa ferramenta da matemática, que de muitas maneiras acaba de ser inventada do nada, mas que não quebra nenhuma regra, nos permite fazer exatamente isso. Então, vamos usá-lo.

Em matemática, unidade imaginária é um número muito útil usado para resolver equações com ordem superior a 2. Foi introduzido apenas ... no teste e funciona bem até hoje. Isso permite obter pelo menos uma raiz em cada polinômio.

Na eletrônica, a unidade imaginária representa a energia armazenada em nosso circuito. Então, no capacitor, é a energia armazenada nele. Também representa mudança de fase no circuito, quando estamos lidando com sinais sinusoidais.

Eu acho que você deveria especificar sua pergunta com mais precisão ou apenas escrever perguntas que o incomodam em pontos.

Por exemplo ... Se a impedância do seu circuito for representada apenas por unidade imaginária, não por real, sua conta de energia será ... zero :)