Qual é a função de uma série de Fourier?

O que é uma série de Fourier? Para que é utilizado?

A série Fourier:

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t) + b_i cos(i \omega_0 t) ]$

O termo é uma constante, esse é o nível do . Também poderia ter sido escrito sem dividir por dois, mas esta é a convenção. Os termos da soma infinita são a soma de um seno ponderado e um cosseno ponderado com a mesma frequência. Se você desenhá-los como fasores no plano complexo de Argand, verá que o resultado é novamente um seno, mas com uma amplitude diferente, e a fase mudou. Portanto, a equação também pode ser escrita como $\dfrac{a_0}{2}$

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t + \phi_i) ]$

Portanto, temos a soma dos senos, todas as múltiplas frequências de uma frequência fundamental , cada uma delas com amplitude e fase próprias. $\omega_0$

Fourier provou que você pode descrever todas as funções repetitivas dessa maneira. Às vezes a série é infinita, às vezes possui um número finito de termos. Às vezes, os termos estão ausentes, o que significa que a amplitude é zero.

Uma das séries de Fourier mais conhecidas é a de uma onda quadrada:

$V_t = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left[\dfrac{sin((2i - 1) \omega_0 t)}{2i - 1} \right]$

ou expandido:

$V_t = sin(\omega_0 t) + \dfrac{1}{3} sin(3 \omega_0 t) + \dfrac{1}{5} sin(5 \omega_0 t) + \dfrac{1}{7} sin(7 \omega_0 t) + ...$

Portanto, essa é uma série com termos ausentes: uma onda quadrada nem tem harmônicos. A imagem a seguir mostra como fica no domínio do tempo:

O desenho superior mostra a soma dos dois primeiros termos, depois um terceiro e, na parte inferior, um quarto termo. Cada termo adicionado aproxima a forma de onda de uma onda quadrada e você precisará do limite da série até o infinito para obter uma onda quadrada perfeita.

Às vezes é difícil ver o seno fundamental nele. Tomemos, por exemplo, a soma de um seno de 3 Hz e um seno de 4 Hz. A forma de onda resultante será repetida uma vez a cada segundo, ou seja, 1 Hz. O 1Hz é o fundamental, mesmo que sua amplitude seja zero. A série pode ser escrita como

$V_t = 0 \cdot sin(\omega_0 t) + 0 \cdot sin(2 \omega_0 t) + sin(3 \omega_0 t) + sin(4 \omega_0 t)$

Todos os termos a seguir também têm amplitude zero.

Todo sinal analógico realizável, qualquer coisa que você possa pensar ou desenhar legitimamente em um gráfico de tensão versus tempo pode ser expresso em termos matemáticos como a soma de um número infinito de ondas senoidais de diferentes frequências - algo desta forma:

any_signal(t) = A*sin(f1*t) + B*sin(f2*t) + C*sin(f3*t) ....

Diferentes sinais são construídas alterando os valores de A, B, Cetc, e f1, f2e outros.

Quando alguém se refere a uma série de Fourier, refere-se a expressar a forma de onda como uma série de operações de adição, como acima.

Realisticamente, todo sinal analógico possui ALGUM conteúdo em todas as frequências - mesmo que a amplitude seja 0,11-67, ela ainda está lá. Idealmente, não é assim - se eu construo uma onda quadrada pura, sei que, de fato, ela consiste APENAS de frequências que são um múltiplo ímpar de seu período. Assim, a onda quadrada de 1 Hz é a soma de uma onda senoidal de 1 Hz mais uma onda senoidal de 3 Hz e assim por diante. Para outras formas de onda conhecidas, como ondas triangulares e rampas, as pessoas fizeram os cálculos sobre quais frequências estão presentes e qual conteúdo.

A Série Fourier é um meio de expressar uma forma de onda periódica como a soma (possivelmente infinita) de formas de onda sinusoidais 'harmônicas'.

Também é usado para expressar um sinal em um intervalo de tempo limitado (compacto) como a soma infinita de formas de onda sinusoidais.

Essencialmente, estabelecendo a relação entre um sinal no domínio do tempo (isto é, um sinal expresso em função do tempo) e um sinal equivalente no domínio da frequência (ou seja, o sinal expresso em função da frequência), o Fourier A série permite a análise harmônica de sinais e sistemas, que é a base da teoria de transmissão de rádio, teoria de codificação, teoria de controle, teoria quântica e muitas outras áreas muito úteis da engenharia.

Embora a expressão dos sinais da série Fourier pareça mais complicada a princípio, envolvendo expressões complexas e 'somas infinitas', como ferramenta matemática, eles permitem que os engenheiros resolvam problemas que não podem ser resolvidos usando expressões de forma fechada.

Simplificando, às vezes é útil expressar variação no espaço e / ou tempo como variação na frequência e na fase. Especialmente para variações periódicas. Mas mesmo quando a variação não é periódica, desde que a variação esteja confinada a algum intervalo no espaço e / ou tempo, ela também ficará confinada a um intervalo correspondente (largura de banda) em frequência.

A aplicação da Série Fourier tem sido fundamental para entender a largura de banda do canal para sistemas de comunicação, desenvolvendo algoritmos de compressão de imagem e melhorando a confiabilidade do sistema de distribuição de energia elétrica.

Para adicionar um pouco de praticidade aos comentários acima, a série de Fourier no domínio do tempo pode ser decomposta em seus componentes no domínio da frequência por meio de algoritmos como FFT (Fast Fourier Transform) e DFT (Discrete Fourier Transform). Um resultado prático importante de poder aplicar os algoritmos é que, em pesquisa e desenvolvimento e testes de laboratório, geralmente queremos medir a pureza espectral dos sinais contra um piso de ruído (por exemplo, SNR ou Spurious Free Dynamic Range) para ver com que pureza ou frequência, sem distorção, nosso conteúdo de sinal é. Se tivermos uma saída no domínio do tempo (como um conversor DA processaria), não podemos determinar esses valores apenas observando a resposta no domínio do tempo, tantas vezes no lado da simulação, usaremos um módulo DFT para transformar o sinal do domínio do tempo no domínio espectral (frequência). No laboratório, em um osciloscópio, precisamos ter alguma ferramenta que possa analisar as propriedades espectrais (normalmente usamos analisadores de espectro). O coração dessas ferramentas depende dos métodos de análise de Fourier e de decomposição espectral. Portanto, você tem uma razão prática para explicar por que a análise de Fourier é importante em EE.