A resposta matemática é que um resistor é um dispositivo elétrico de dois terminais que obedece, ou você poderia dizer que aplica, a lei de Ohm: V = IR.
V é a tensão entre os dois terminais, I é a corrente que flui de um terminal para o outro (através do resistor) e R é o valor conhecido como resistência. Para um resistor ideal, R é uma constante e não depende de V, I ou de qualquer outra coisa. Outra maneira de descrever a lei de Ohm é dizer que a tensão através de um resistor e a corrente através dele são proporcionais. A constante de proporcionalidade é R, a resistência.
Uma consequência fundamental da física é que os resistores convertem a energia potencial elétrica em calor. Então eles tendem a esquentar quando a corrente flui através deles. Os resistores reais têm dissipação de potência máxima permitida e também podem ter R, que depende ligeiramente da temperatura e outras deficiências do ideal.
No que diz respeito à forma como os resistores são produzidos, os resistores reais são construídos a partir de materiais com condutividade entre isoladores (materiais dielétricos) e condutores (como fios de cobre). Se você pode determinar o caminho que a corrente percorre através do resistor, tornar esse caminho mais longo aumenta a resistência. Aumentar a seção transversal diminui a resistência.
Quanto ao que torna os materiais bons condutores ... Bem, geralmente bons condutores possuem elétrons móveis no nível molecular. Bons isoladores não. Bons resistores estão em algum lugar no meio.