Qual é a resposta de frequência mais nítida para um filtro passa-baixo não causal cuja resposta ao degrau não excede?

Os filtros Butterworth, Bessel, Chebychev e sinc passa-baixo são usados em vários casos em que existem diferentes trocas entre ter uma resposta de frequência que diminui uniformemente, uma resposta de fase uniforme, um corte acentuado ou resposta "parede de tijolos". Acredito que todos esses filtros podem, em alguns casos, ter superação na resposta ao passo, o que significa que a resposta ao impulso é negativa em alguns lugares.

Qual seria a resposta de frequência ideal ou que tipos de respostas de frequência estariam disponíveis em um filtro cuja única restrição era que a resposta de impulso não poderia ser negativa em nenhum lugar? Certamente, é possível ter um filtro passa-baixo que atenda a essa restrição, pois um filtro RC básico o fará (embora a resposta desse filtro seja um pouco ruim). A resposta ideal ao impulso seria uma curva de distribuição normal ou algo mais?

filter dsp

— supercat
fonte

@ supercat, se você incluir filtragem digital, é incrível como uma resposta da parede de tijolos você pode obter sem ultrapassar.

— Kortuk 8/11

@Kortuk: Sério? Eu acho que seria difícil evitar ultrapassagens, uma vez que uma onda quadrada filtrada por uma parede de tijolos tem pequenos picos cuja largura se aproxima de zero quando a frequência de corte aumenta, mas cuja amplitude não. O que seria uma boa referência?

— Supercat

Você diz "não-causal" na pergunta, mas todos os seus exemplos são causais. O que você quer dizer? Não causal exige que você grave toda a forma de onda e aplique o filtro na gravação. (Ou, talvez, o uso de capacitores de fluxo e grandes fontes de energia).

— endolith

@ endolith: Qual seria o filtro ideal, supondo que não seja necessário ser causal.

— Supercat

@ Kortuk: Cortar o sinal em zero vai aniquilar totalmente todos os benefícios da filtragem. E enquanto eu estou postando no DSP, também estou curioso sobre coisas como gravadores de filmes de áudio (de um aspecto intelectual, e não prático), onde é possível fazer qualquer função de impulso não negativo que se queira, sujeita a uma restrição de largura.

— Supercat #

Respostas:

Vou listar um monte de "filtros que não excedem". Espero que você encontre esta resposta parcial melhor do que nenhuma resposta. Espero que as pessoas que procuram "um filtro que não ultrapasse" achem esta lista útil desses filtros. Talvez um desses filtros funcione adequadamente em seu aplicativo, mesmo que ainda não tenhamos encontrado o filtro matematicamente ideal.

filtros causais LTI de primeira e segunda ordem

A resposta de etapa de um filtro de primeira ordem ("filtro RC") nunca excede.

A resposta de etapa de um filtro de segunda ordem ("biquad") pode ser projetada de forma que nunca ultrapasse. Existem várias maneiras equivalentes de descrever essa classe de filtro de segunda ordem que não excede em uma entrada de etapa:

está criticamente amortecido ou está sobrecarregado.
não é subestimado.
a taxa de amortecimento (zeta) é 1 ou mais
o fator de qualidade (Q) é 1/2 ou menos
o parâmetro de taxa de decaimento (alfa) é pelo menos a frequência angular natural não atenuada (ômega_0) ou mais

Em particular, uma topologia de filtro Sallen – Key com ganho de unidade com capacitores e resistores iguais é amortecida criticamente: Q = 1/2 e, portanto, não excede em uma entrada de etapa.

Um filtro Bessel de segunda ordem é ligeiramente subestimado: Q = 1 / sqrt (3), portanto, ele tem um pouco de superação.

Um filtro Butterworth de segunda ordem é mais subestimado: Q = 1 / sqrt (2), portanto, ele tem mais overshoot.

Dentre todos os possíveis filtros LTI de primeira e segunda ordem que são causais e não excedem, aquele com a melhor resposta de freqüência (a mais acentuada) são os filtros de segunda ordem com amortecimento crítico.

filtros causais de LTI de ordem superior

O filtro causal de ordem superior mais comumente usado que tem uma resposta de impulso que nunca é negativa (e, portanto, nunca excede em uma entrada de etapa) é o "filtro de média corrente", também chamado de "filtro de vagão" ou " filtro de média móvel " "

Algumas pessoas gostam de executar dados através de um filtro de vagão e a saída desse filtro para outro filtro de vagão. Após alguns desses filtros, o resultado é uma boa aproximação do filtro gaussiano. (Quanto mais filtros você cascata, mais próxima a saída final se aproxima de um gaussiano, não importa com qual filtro você comece - vagão, triângulo, RC de primeira ordem ou qualquer outro - por causa do teorema do limite central).

Praticamente todas as funções da janela têm uma resposta de impulso que nunca é negativa e, portanto, em princípio podem ser usadas como filtros FIR que nunca excedem uma entrada de etapa. Em particular, ouço coisas boas sobre a janela Lanczos , que é o lóbulo central (positivo) da função sinc () (e zero fora desse lóbulo). Alguns filtros de modelagem de pulso têm uma resposta de impulso que nunca é negativa e, portanto, podem ser usados como filtros que nunca excedem uma entrada de etapa.

Não sei qual desses filtros é o melhor para sua aplicação e suspeito que o filtro matematicamente ideal pode ser um pouco melhor que qualquer um deles.

filtros causais não lineares

O filtro mediano é um filtro não linear popular que nunca excede em uma entrada de função de etapa.

EDIT: filtros não causais LTI

A função sech (t) = 2 / (e ^ (- t) + e ^ t) é sua própria transformada de Fourier, e suponho que poderia ser usada como um tipo de filtro LTI passa-baixo não causal que nunca ultrapassa um limite entrada de etapa.

O filtro LTI não causal que possui a resposta de impulso (sinc (t / k)) ^ 2 possui uma resposta de frequência "abs (k) * triângulo (k * w)". Quando é fornecida uma entrada de etapa, ela apresenta muitas ondulações no domínio do tempo, mas nunca ultrapassa o ponto de estabilização final. Acima do canto de alta frequência desse triângulo, ele oferece uma rejeição perfeita da banda de parada (atenuação infinita). Portanto, na região da banda de parada, ele tem melhor resposta de frequência do que um filtro gaussiano.

Portanto, duvido que o filtro gaussiano dê a "resposta de frequência ideal".

No conjunto de todos os possíveis "filtros que não ultrapassam", suspeito que não haja uma única "resposta de frequência ideal" - alguns têm melhor rejeição de banda de parada, enquanto outros têm bandas de transição mais estreitas, etc.

— davidcary
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Obrigado pela sua resposta. Negligenciei restringir minha pergunta a filtros lineares, embora, é claro, caracterizar a resposta de frequência de um filtro não linear possa ser uma proposta obscura. Como observado, a cascata do filtro de vagão em caixa faz com que ele se aproxime de um gaussiano. Fiquei me perguntando se o filtro gaussiano tem a resposta de frequência ideal que pode ser obtida sem ultrapassagem. Ao escrever a pergunta, eu estava pensando em vários processos analógicos que executam algo como um filtro de resposta a impulsos definido, por exemplo, desfocando a câmera ou exibindo pixels para minimizar o alias.

— precisa

É possível construir uma câmera para que cada pixel capte quantidades variáveis de luz de vários pontos ao redor do centro. Idealmente, uma câmera filtraria tudo acima de Nyquist sem desfocar nada abaixo, mas, na prática, é improvável que isso aconteça.

— supercat

LTI? Você nunca define isso. Acrescentar que isso significa "linear invariável no tempo" provavelmente seria útil.

— Connor Lobo

Então Q = 0.5 é criticamente amortecido? Para uma determinada ordem, existem vários sistemas com amortecimento crítico? O biquad com Q = 0,5 é chamado filtro LR2 Linkwitz-Riley . Parece que as versões de ordem superior do filtro LR estão tocando na resposta da etapa.

— endolith 14/03

"filtros em cascata com amortecimento crítico resultarão em outro filtro com amortecimento crítico" Então, mantenha os pólos em -1 e sempre será amortecido criticamente? (E se aproximar de uma resposta do filtro Gaussian como o número aumenta?)

— endolith

A maioria dos filtros usados no mundo digital é apenas uma amostra da versão analógica. Uma grande razão para isso é que havia muito trabalho realizado na filtragem analógica antes do surgimento do digital, então, em vez de reinventar a roda, a maioria usava apenas projetos anteriores. A vantagem do digital, porém, é que um filtro de ordem superior pode ser alcançado muito mais facilmente do que no mundo analógico. Imagine um circuito complexo sempre que adicionar outro pedido ao design.

Se você estiver procurando por um filtro de parede de tijolos, a curva gaussiana é um bom ponto de partida. Se você conhece o Domínio do Tempo <-> Domínio da Frequência; um gaussiano se transforma em um gaussiano no outro domínio. À medida que fica enrolador em um, fica mais estreito no outro. Portanto, para obter um pico perfeito no domínio da frequência, você precisará de uma quantidade infinita de amostras.

Se tiver o Matlab disponível para uso, verifique algumas das ferramentas de design de filtro incorporadas. Aqui está um link falando sobre Butterworth e Bessel . As ferramentas de design permitem especificar certos aspectos do filtro. Esses aspectos são alterados para cada tipo de filtro, mas alguns exemplos são Banda de passagem, Banda de parada, Ondulação, etc. Se você fornecer ao designer as restrições desejadas, isso causará um erro (o que significa que não é possível criar esse filtro com esse tipo de filtro). ) ou fornecerá um filtro com o pedido mínimo necessário para atender às especificações.

— Kellenjb
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Um gaussiano se encaixa no requisito de uma resposta de impulso não-negativa, mas não é uma parede de tijolos. Por outro lado, Butterworth, Bessel e Chebyshev têm oscilações do tipo sinc em sua resposta ao impulso, levando a superação. Desses, o filtro de Bessel tem o menor overshoot, pois possui um atraso de grupo quase plano (fase linear) na banda passante.

— Eryk Sun

Além do gaussiano, esses filtros são causais. Para o processamento offline, um NNFIR de fase linear (FIR não negativo) funcionaria bem ou você pode cancelar a distorção de fase de um filtro recursivo causal usando a técnica de filtfilt ... É claro que você ainda precisa de uma maneira de projetar um NNIR LPF para evite overshoot / undershoot. Sugestões alguém? Referências?

— Eryk Sun

@eryksun, como observação lateral, se oscilar em 1,05 vezes o valor máximo, apenas umedeça para parar em 1,00 e sua resposta ao passo será um pouco menor, como 0,96 quando estável. Problema resolvido.

— 11131 Kortuk

@ Kortuk: Problema resolvido no domínio do tempo, mas fazer esse recorte não é apenas não linear, mas também abre certas partes do domínio da frequência para transmitir um sinal que não era anteriormente. Ele deseja o filtro de passa / sem passe mais rígido possível na frequência sem ultrapassar no domínio do tempo. Nenhuma superação no domínio do tempo é o mesmo que dizer que a resposta ao impulso nunca é negativa.

— Olin Lathrop

@ Kortuk: Em alguns domínios, o zero está próximo do ponto médio entre o máximo e o mínimo, e o dimensionamento de um sinal em direção ao ponto médio evitará problemas de superação. Em outros domínios, como imagem, zero é o mínimo e o alcance dinâmico é mais importante lá; geralmente seria melhor ter um filtro "mais nebuloso" que não ultrapasse do que um filtro mais nítido.

— supercat