Por que a onda senoidal é preferida a outras formas de onda?

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Por que os cientistas optaram por ir com onda senoidal para representar corrente alternada e não outras formas de onda como triângulo e quadrado?

Que vantagem o seno oferece acima de outras formas de onda na representação de corrente e tensão?

ac sine

— Rookie91
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Ninguém "escolheu" essas formas de onda, é o que naturalmente aparece nos geradores.

— PlasmaHH

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Eu sugiro que você dê uma olhada em como essas coisas funcionam: en.wikipedia.org/wiki/Single-phase_generator e se você puder criar uma que me dê um triângulo ou uma onda quadrada, eu gostaria de ter uma, por favor.

— PlasmaHH

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Fourier descobriu que qualquer sinal / forma de onda pode ser descrito como um número de senos sobrepostos.

— HKOB

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@PlasmaHH É possível criar geradores para formas de onda diferentes de seno. Basta olhar para a EMF traseira de um BLDC, que é trapezoidal (no caso comum). Mas sim, sem esforço adicional, uma onda senoidal é exatamente o que você obtém facilmente.

— Roland Mieslinger

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@Plutoniumsmuggler Isso é exatamente o que eu disse! Você afirmou que toda função pode ser representada como uma série de Fourier; Corrigi isso para todas as funções periódicas. (E, na verdade, você provavelmente terá que restringir ainda mais, incluindo uma noção adequada de continuidade e diferenciabilidade.)

— David Richerby

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O movimento circular produz uma onda senoidal naturalmente: -

insira a descrição da imagem aqui

É apenas uma coisa muito natural e fundamental a se fazer e tentar produzir formas de onda diferentes é mais complicado ou leva a efeitos colaterais indesejados.

insira a descrição da imagem aqui

O movimento para cima e para baixo (na natureza) produz uma onda senoidal contra o tempo: -

insira a descrição da imagem aqui

— Andy aka
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Nice piccys Andy, regras SHM. (+1)

— JIm Dearden

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oscilação harmônica FTW

— vaxquis 05/02

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IIRC o movimento da mola somente é aproximadamente por uma onda senoidal, e a aproximação é boa apenas para pequenas deflexões. Mas o caso rotacional é exatamente o motivo pelo qual a corrente alternada é sinusoidal. + 1`

— Ben Voigt

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Se eu puder, gostaria de acrescentar que, como os sinusóides são fundamentais, você pode criar outras formas de onda a partir delas; Série de Fourier e transformação, alguém?

— Sergiy Kolodyazhnyy

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Os sinusóides também são especiais, pois se diferenciam e se integram a outros sinusóides.

— Roman Starkov 11/02

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Cosseno e ondas senoidais (na verdade seus constituintes na forma de exponenciais complexos) são as funções próprias de sistemas lineares invariantes no tempo, com uma resposta dependente do tempo de

\begin{aligned} f (uma (t) + b (t), t_{0 0}) & = f (uma (t), t_{0 0}) + f (b (t), t_{0 0}) & linearidade \\ f (uma (t + h), t_{0 0}) & = f (uma (t), t_{0 0} + h) & invariância do tempo \end{aligned}

$\begin{align}f\bigl(a(t)+b(t),t_0\bigr)&= f\bigl(a(t),t_0\bigr)+f\bigl(b(t),t_0\bigr)&&\text{linearity}\\ f\bigl(a(t+h),t_0\bigr)&=f\bigl(a(t),t_0+h\bigr)&&\text{time invariance}\end{align}$ Se você construir qualquer rede a partir de componentes passivos lineares (resistores, indutores, capacitores neste StackExchange) e alimentá-la com um sinal sinoidal contínuo, qualquer ponto da rede emitirá um sinal sinoidal contínuo com fase e magnitude possivelmente diferentes.

Em geral, nenhuma outra forma de onda será preservada, pois a resposta será diferente para diferentes frequências de entrada; portanto, se você decompor alguma entrada em seus componentes sinoidais de frequência única, verifique as respostas individuais da rede a essas e remonte os sinais sinoidais resultantes, o resultado geralmente não terá as mesmas relações entre seus componentes sinoides como originalmente.

Portanto, a análise de Fourier é muito importante: as redes passivas respondem diretamente a sinais sinoidais, portanto, decompor tudo em sinoides e vice-versa é uma ferramenta importante para analisar circuitos.

— user66031
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Não é um argumento circular? Se você decompusesse a entrada em algum outro tipo de componente (ondas triangulares, por exemplo), obteria resultados diferentes.

— usar o seguinte código

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@ Random832 Não, a entrada de onda senoidal em uma rede RCL passiva sempre fornece saída de onda senoidal (atenuada e fase alterada em uma quantidade diferente dependendo da frequência). um analógico direto. A entrada de triângulo não fornece saída de triângulo. A análise de Fourier nos diz que uma onda triangular é composta pelas seguintes amplitudes, frequências: a, fa / 3,3f, a / 5,5f etc. Se decompormos o triângulo nessas ondas senoidais e analisá-las separadamente, podemos adicioná-las e veja qual forma de onda o circuito produzirá.

— Level River St

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@ Random832 Se tentar analisar a entrada e a saída de um sistema RCL com ondas triangulares, por exemplo, encontrará uma resposta não linear. Com ondas seno / cosseno, você obtém resposta linear, isso é importante.

— Aron

@ Aron: relacionado a isso é o fato de que a adição de duas ondas senoidais com a mesma frequência, mas uma fase que difere em uma quantidade menor que 180 graus, produzirá uma onda senoidal da mesma frequência e uma fase intermediária. A adição de dois sinais de fase de correspondência de frequência diferente da maioria dos outros tipos de onda, no entanto, produzirá um formato de onda que não é semelhante ao original.

— Supercat 24/05

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As coisas oscilam de acordo com o seno e o cosseno. Mecânico, elétrico, acústico, você escolhe. Pendure uma massa em uma mola e ela saltará para cima e para baixo na frequência ressonante de acordo com a função senoidal. Um circuito LC se comportará da mesma maneira, apenas com correntes e tensões, em vez de velocidade e força.

Uma onda senoidal consiste em um único componente de frequência e outras formas de onda podem ser construídas a partir da adição de várias ondas senoidais diferentes. Você pode ver os componentes de frequência em um sinal olhando para ele em um analisador de espectro. Como um analisador de espectro varre um filtro estreito sobre a faixa de frequência que você está vendo, você verá um pico em cada frequência que o sinal contém. Para uma onda senoidal, você verá 1 pico. Para uma onda quadrada, você verá os picos af, 3f, 5f, 7f, etc.

Seno e cosseno também são a projeção das coisas que giram. Pegue um gerador CA, por exemplo. Um gerador de CA gira um ímã ao lado de uma bobina de fio. À medida que o ímã gira, o campo que colide com a bobina devido ao ímã varia de acordo com o seno do ângulo do eixo, gerando uma tensão através da bobina que também é proporcional à função senoidal.

— alex.forencich
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Obrigado @ alex.forencich, para que o seno e o cosseno estejam nas ações fundamentais à nossa volta.

— precisa saber é o seguinte

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Talvez você possa incluir na sua resposta que ondas de frequência mais alta geralmente são indesejáveis , pois isso leva a perdas mais capacitivas e indutivas, além de mais ruído (uma vez que há mais frequências mais altas) que precisa ser filtrado pelas fontes de alimentação (por exemplo, na sua configuração hi-fi).

— Sanchises

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Como uma observação: seno e cosseno são tão fundamentais porque aparecem naturalmente em equações diferenciais, e muitas facetas do universo são bem modeladas por equações diferenciais (incluindo E&M, molas e muito mais)

— Cort Ammon - Reinstate Monica

no segundo ponto - o conceito de componentes de frequência (versus periodicidade) realmente só faz sentido quando você começa com um conjunto ortogonal de formas de onda para usar como referência - acho que uma onda senoidal pode ser vista com vários componentes de frequência de ondas triangulares - o onda sinusoidal há especial por causa das propriedades de linearidade, de modo que podemos decompor um sinal dentro de senos e que se aplicam a uma rede Pasive (um sistema linear)

— user3125280

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Só porque você pode decompor uma forma de onda em um conjunto de uma forma de onda diferente não significa que essa outra forma de onda seja de alguma forma mais 'fundamental'. Certamente é possível decompor ondas senoidais em outra coisa. No entanto, os circuitos eletrônicos se comportam em termos de oscilações e ondas senoidais. Se você criar um filtro passa-baixa de 100 Hz e colocar uma onda quadrada de 50 Hz, receberá uma onda senoidal de 50 Hz do outro lado. Não é uma onda quadrada ou triangular. É por isso que as ondas senoidais são fundamentais.

— Alex.forencich

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Em um sentido mais matemático e físico, por que o seno e o cosseno são os fundamentos das ondas podem ter suas raízes no teorema e no cálculo de Pitágoras.

O teorema de Pitágoras nos deu essa gema, com senos e cossenos:

{s Eu n}^{2} (t) + {c o s}^{2} (t) = 1, t \in R

$\mathrm{sin}^2(t) + \mathrm{cos}^2(t) = 1, t \in \mathbb{R}$

Isso fez com que os senos e os cossenos se anulassem nas leis dos quadrados inversos que se espalham por todo o mundo da física.

E com o cálculo, temos o seguinte:

\frac{d}{d x} s Eu n x = c o s x

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{sin}x = \mathrm{cos}x$

\frac{d}{d x} c o s x = - s Eu n x

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{cos}x = -\mathrm{sin}x$

Isso significa que qualquer forma de operação de cálculo preservaria os senos e os cossenos, se houver perfeitamente um deles.

Por exemplo, quando resolvemos a posição instantânea do objeto na lei de Hooke (forma semelhante em todos os lugares também), temos o seguinte:

- k x = F = m \frac{d^{2}}{d t^{2}} x

$-kx = F = m\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}x$

$x=\mathrm{sin}(t)$

— Maxthon Chan
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+0.(9); Além disso, na IMO, é importante notar que a solução da maioria das equações diferenciais comumente usadas (equações de onda, equações de cordas, equações de fluidos) requer x=e^(lambda*t)substituição, que mais tarde cria uma solução que pode ser transformada em x = A*sin(lambda*t) + B*cos(lambda*t)forma, forçando essencialmente uma expansão seno / cosseno nas soluções de tais equações.

— vaxquis

x = A s i n (λ t) + B c o s (λ t)

$x=A\mathrm{sin}(\lambda t)+B\mathrm{cos}(\lambda t)$

x = f (s i n (g (t)))

$x=f(\mathrm{sin}(g(t)))$

sim, exatamente. Eles também podem ser expressos como cosseno; Eu apenas apontei que, uma vez que a IMO mostra claramente que todas as três formas (seno, cosseno, seno + cosseno) são equivalentes e, de fato, são usadas de forma intercambiável, dependendo das necessidades e do contexto, como pode ser visto, por exemplo, em en.wikipedia .org / wiki / Harmonic_oscillator ou en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation .

— vaxquis

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Os cientistas não escolheram a onda senoidal, foi o que obtiveram de um gerador de corrente alternada. No gerador CA, a onda senoidal é gerada devido ao movimento do rotor dentro de um campo magnético. Não existe uma maneira fácil de fazer o contrário. Veja esta figura na Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Single-phase_generator#Revolving_armature

— obaej
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As ondas senoidais contêm apenas uma frequência. Uma onda quadrada ou triangular é uma soma de uma quantidade infinita de ondas senoidais que são harmônicas da frequência fundamental.

A derivada de uma onda quadrada perfeita (tem tempo de subida / descida zero) é infinita quando muda de baixa para alta ou vice-versa. A derivada de uma onda triangular perfeita é infinita na parte superior e inferior.

Uma conseqüência prática disso é que é mais difícil transferir um sinal quadrado / triângulo, digamos, através de um cabo comparado a um sinal que é apenas uma onda senoidal.

Outra consequência é que uma onda quadrada tende a gerar muito mais ruído irradiado em comparação com uma onda senoidal. Por conter muitos harmônicos, esses harmônicos podem irradiar. Um exemplo típico é o relógio para uma SDRAM em uma PCB. Se não for roteado com cuidado, gerará muita emissão irradiada. Isso pode causar falhas no teste EMC.

Uma onda senoidal também pode irradiar, mas somente a frequência da onda senoidal irradia.

— Reidar Gjerstad
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Você poderia argumentar que as ondas quadradas contêm apenas uma frequência. Uma onda senoidal é uma soma de uma quantidade infinita de ondas quadradas.

— jinawee

@jinawee Você poderia, mas há outras coisas que tornam as ondas senoidais o tipo de onda "fundamental". Por exemplo, é o único que se diferencia (desconsiderando a mudança de fase). Embora a explicação física sobre os sistemas de molas oscilantes seja a que eu mais gosto.

— Roman Starkov 11/02

@jinawee, você provaria isso, por favor?

— Eric Melhor

@EricBest Não conheço a prova, mas estava me referindo às funções Walsh en.wikipedia.org/wiki/Walsh_function que são uma base de Hilbert no intervalo [0,1]. É claro que algumas sutilezas podem surgir, como igualdade até um conjunto de medidas zero ou coisas assim.

— jinawee

@jinawee: Colocar uma onda senoidal em um sistema linear produzirá uma onda senoidal da mesma frequência ou DC (que pode ser vista como uma onda senoidal da mesma frequência, mas com amplitude zero). Colocar uma soma de ondas senoidais nesse sistema produzirá o mesmo resultado que colocar cada onda individualmente e adicionar as saídas. A combinação dessas duas propriedades é exclusiva das ondas senoidais.

— Supercat

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Antes de tudo, as funções seno e cosseno são uniformemente contínuas (portanto, não há pontos descontínuos em nenhum lugar de seu domínio) e infinitamente diferenciáveis em toda a linha Real. Eles também são facilmente calculados por meio de uma expansão da série Taylor.

Essas propriedades são especialmente úteis na definição da expansão da série de Fourier de funções periódicas na linha real. Portanto, formas de onda não sinusoidais, como as ondas quadrada, dente de serra e triângulo, podem ser representadas como uma soma infinita de funções senoidais. Logo, a onda senoidal forma a base da Análise Harmônica e é a forma de onda matematicamente mais simples de descrever.

— LapToppin
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Sempre gostamos de trabalhar com modelos matemáticos lineares de realidades físicas, devido à sua simplicidade de trabalhar. Funções sinusoidais são 'autofunções' de sistemas lineares.

$\sin(t)$
$A\cdot\sin(t + \phi)$

A função permanece a mesma e é ampliada apenas em amplitude e alterada no tempo. Isso nos dá uma boa idéia do que acontece com o sinal se ele se propagar pelo sistema.

— Axel Vanraes
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Obrigado @Axel Vanraes por sua contribuição valiosa.

— precisa saber é o seguinte

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Seno / cosseno são soluções de equações diferenciais lineares de segunda ordem.

sin '= cos, cos' = - sin

Elementos eletrônicos básicos como indutores e capacitores produzem uma integração de uma diferenciação de corrente em tensão.

Ao decompor sinais arbitrários em ondas senoidais, as equações diferenciais podem ser analisadas facilmente.

— TEMLIB
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Uma maneira de ver isso, em poucas palavras, é que uma série harmônica de funções seno e cosseno forma uma base ortogonal de um espaço vetorial linear de funções com valor real em um intervalo de tempo finito. Assim, uma função em um intervalo de tempo pode ser representada como uma combinação linear de funções seno e cosseno harmonicamente relacionadas.

É claro que você poderia usar algum outro conjunto de funções (por exemplo, wavelets em particular) desde que elas formem um conjunto de bases válido e decomponha a função de interesse dessa maneira. Às vezes, essas decomposições podem ser úteis, mas até agora sabemos apenas de aplicativos especializados para elas.

Fazendo uma analogia geométrica: você pode usar uma base não-ortogonal para descrever os componentes de um vetor. Por exemplo, um vetor ortonormal pode ter componentes de [1,8,-4]. Em alguma outra base não ortonormal, pode ter componentes de [21,-43,12]. Se esse conjunto de componentes é mais fácil ou mais difícil de interpretar do que a base ortonormal usual, depende do que você está tentando fazer.

— Restabelecer Monica
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menos perdas
menor número de harmônicos
sem interferência na linha de comunicação
efeito muito menos distracional
a máquina executa sua eficiência
muito, muito pouco comportamento transitório no caso L e C

— pradeep maurya
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