Frequências negativas: o que é isso?

Eu sei que quando a frequência é 0, a tensão será pura CC. Mas no DSP e na Comunicação Digital, eu vi menções de frequências negativas que eu não entendo direito. Por exemplo, como a faixa de frequência. Como a frequência pode se tornar negativa? f $-f_{0}$$f_{0}$

A derivação de

$cos(\omega t) = \frac{1}{2} \left(e^{j\omega t} + e^{-j\omega t}\right)$

é tudo muito bom e tal (obrigado, Mark), mas não é muito intuitivo.
Um seno pode ser apresentado no plano complexo como um vetor rotativo:

Você pode ver como o vetor consiste em uma parte real e uma imaginária. Mas o que você vê quando assiste ao sinal no seu osciloscópio é um sinal real; então, como você pode se livrar da parte imaginária, de modo que o vetor permaneça no eixo x, aumentando e diminuindo? A solução é adicionar uma imagem espelhada do vetor rotativo, girando no sentido horário em vez de no sentido anti-horário.

As partes imaginárias têm a mesma magnitude, mas sinais opostos; portanto, quando você adiciona os dois vetores, as partes imaginárias se cancelam, deixando um sinal puramente real.
Se a rotação no sentido anti-horário representar frequência positiva, a rotação no sentido horário deverá representar frequência negativa.

Na verdade, não pode.

Uma resposta completa levaria um livro inteiro, mas a resposta básica é:

$e^{j\omega t}$

Isso leva à fórmula de Euler:

$e^{j\omega t} = cos(wt) + j \cdot sin(\omega t)$

O que leva ao seu inverso:

$cos(\omega t) = \frac{1}{2} \cdot (e^{j\omega t} + e^{-j\omega t})$

O que implica que tanto a frequência positiva quanto a negativa estejam presentes, e é aí que ela aparece na discussão do processamento de sinais.

Do jeito que eu vejo:

$e^{i\omega t}$

Também pode ser desenhado de maneira menos intuitiva assim (lado esquerdo) e possui um espectro unilateral como este (lado direito):

Freqüência negativa significa apenas que a hélice está girando na direção oposta, e o espectro é uma função delta no lado negativo do eixo da frequência.

Se você adicionar um sinusóide complexo de frequência positiva com uma da mesma frequência, porém negativa, as partes imaginárias em rotação inversa cancelam e produzem uma onda senoidal real.

Nesse caso, não faz sentido falar de uma onda senoidal com frequência negativa, pois uma onda senoidal contém freqüências positivas e negativas.

(Eu realmente gostaria de fazer melhores ilustrações disso, em vez de copiar aquelas antigas e de baixa qualidade, mas tentei e não é fácil. Acho que o diagrama 3D dos espectros acima está realmente errado. as funções devem ser paralelas ao plano real / imaginário e perpendiculares ao eixo da frequência.)