Por que o alias do ruído de banda larga não se acumula na banda de amostra?

Recentemente, construí uma simulação para estudar a amostragem, os efeitos do alias e os efeitos dos filtros anti-alias no sinal amostrado.

Para frequências fundamentais acima da banda de amostra, é óbvio que se vê 'impostores' no sinal amostrado. Usando um filtro antialiasing, posso eliminar impostores.

Mas se eu preferir impor um sinal de ruído de banda larga (na verdade, ruído branco) ao amostrador, não faz muita diferença se o filtro anti-aliasing está presente ou não. O pico a pico de ruído é o mesmo em ambos os casos. É claro que a largura de banda do ruído mudou.

Além disso, eu esperaria que o ruído de banda larga (impostor) aliasado fora da banda de amostra fosse sobreposto ao ruído de banda larga que é genuinamente passado na banda de amostra, 'acumulando-se' com um nível maior de pico a pico.

Por que isso não acontece?

Devo mencionar que minha etapa do tempo de simulação está no MHz e meu sistema em estudo está na faixa de 1 kHz. Portanto, o sistema está praticamente em um mundo contínuo.

noise sampling active-filter

— docscience
fonte

Esta é uma pergunta fantástica que eu sempre quis saber sobre mim ...

— Matt Young

Se você medir a amplitude do ruído em um osciloscópio, que amplitude você vê (a) antes e (b) após o filtro AA?

— Brian Drummond

@BrianDrummond Esse experimento não necessariamente aborda o ponto da minha pergunta. Mesmo um escopo digital superexpõe muito as amostras e possui seus próprios filtros anti-aliasing incorporados. Portanto, virtualmente o escopo é 'contínuo' e os efeitos da amostragem não são abordados.

— docscience

Por que você diz que o filtro AA não faz diferença? Acho mais fácil pensar na saída pico a pico do amostrador, mas também funciona para o RMS. Se você inserir um ruído de banda larga de 1MHz BW e 1V pk-pk diretamente no seu amostrador de 2KHz, a saída do amostrador será 1v pk-pk. Se você agora adicionar o filtro AA (parede de tijolos 1KHz BW) e alimentá-lo no amostrador, a tensão de entrada será de ~ 30mV pk-pk (30dB att) e a saída do amostrador será agora 30mv pp ainda com 500Hz BW. O ruído acima de Nyquist foi alternado para a banda de saída. Kevin

— Kevin White

Respostas:

Você está correto: após a amostragem, os componentes de ruído com alias se acumulam na banda de frequência abaixo da frequência de Nyquist. A questão é exatamente o que exatamente isso se acumula e qual é sua conseqüência.

$N(t)$ $R_k= N(kT)$ $T$ $R_k$ $N(t)$

\begin{matrix} (1) & S_{R} (f) = f_{s} \sum_{k = - \infty}^{\infty} S_{N} (f - k f_{s}) \end{matrix}

$S_R(f)=f_s\sum_{k=-\infty}^{\infty}S_N(f-kf_s)\tag{1}$

$f_s=1/T$ $N(t)$ $N(t)$ $[0,f_s/2]$ .

$N(t)$ $N(t)$ $R_k$ $[0,f_s/2]$ $S_N(f)$ $[0,f_s/2]$

Consequentemente, a potência do ruído não muda após a amostragem, independentemente da frequência de amostragem. O ruído amostrado tem a mesma potência que o ruído de tempo contínuo original.

Portanto, a potência do ruído amostrado muda apenas se você alterar a potência do ruído de tempo contínuo, e isso pode ser feito pelo filtro anti-aliasing, porque o filtro reduz a largura de banda do ruído e, consequentemente, a potência do ruído. Observe que apenas analisar o valor pico a pico não diz muito, porque você precisa considerar o poder.

Referência:

EA Lee, DG Messerschmitt: Comunicação Digital , 2ª ed., Seção 3.2.5 (pp. 64)

— Matt L.
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A energia representada pelo sinal amostrado está relacionada apenas ao PDF (função de densidade de probabilidade) do sinal de entrada e à frequência da amostra. A largura de banda real do sinal de entrada não afeta isso.

Em outras palavras, ao subamostrar um sinal de largura de banda larga, você obtém um conjunto de amostras que têm o mesmo PDF que o sinal de banda larga original, mas essas amostras têm apenas uma largura de banda efetiva de Fs / 2. A energia "excessiva" fora dessa largura de banda simplesmente nunca foi capturada pelo processo de amostragem.

Se você dobrar a taxa de amostragem, "capturará" duas vezes mais energia.

— Dave Tweed
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Você está dizendo que, para uma determinada potência de ruído de entrada, aumentar a taxa de amostragem aumenta a potência de ruído do ruído de amostra?

— Matt L.

Sim, desde que a largura de banda do ruído ainda seja maior ou igual à nova largura de banda de amostragem.

— Dave Tweed

Esse não é o caso. Se você modelar o ruído como um processo aleatório estacionário (sentido amplo), o ruído amostrado terá a mesma potência que o processo original de ruído em tempo contínuo, independentemente da taxa de amostragem.

— Matt L.

@ MattL .: Em que você baseia essa afirmação? Talvez você deva explicar com mais detalhes em uma resposta separada.

— Dave Tweed

OK, escreverei uma resposta assim que tiver mais tempo; pode demorar até amanhã embora.

— Matt L.