Pólos e gráficos de Bode

Tenho três perguntas que me incomodam há muito tempo:

1. Dizemos que, em um gráfico Bode, há uma queda no ganho de 20 dB por década sempre que um polo é encontrado. Mas os pólos não são definidos como os valores de que fazem a transferência funcionar infinitamente? Então, por que o ganho não aumenta nesse momento, em vez de diminuir?$s$

2. Fisicamente, o que acontece quando alimentamos um sistema com uma frequência de polo?

3. Além disso, considere uma função de transferência . O sistema possui polo em . Ou seja, para o polo, e . Mas quando aplicamos um sinal senoidal à sua entrada e desenhamos o gráfico Bode, por que dizemos que existe um polo a 2 rad / s (embora, para o polo, e$1/(s+2)$$s=(-2+j0)$$\sigma=-2$$\omega=0$$\omega=0$$\sigma =-2$ )?

A plotagem de Bode não é um gráfico que representa a função de transferência ( ) contra s . H ( s ) é uma função complexa e seu gráfico de magnitude na verdade representa uma superfície no sistema de coordenadas cartesianas. E essa superfície terá picos chegando ao infinito em cada pólo, como mostra a figura:$H(s)$$s$$H(s)$

A plotagem do Bode é obtida substituindo primeiro em H ( s ) e depois representando-o na forma polar H ( j ω ) = | H ( ω ) | ∠ & Phi; ( ω ) . H ( ω ) fornece o gráfico de magnitude e ϕ ( ω ) fornece o gráfico de fase.$s= j\omega$$H(s)$$H(j\omega) = |H(\omega)|\angle\phi(\omega)$$H(\omega)$$\phi(\omega)$

O gráfico de magnitude do Bode é a aproximação assintótica da magnitude da função de transferência ( ) vs logaritmo de frequência em radianos / s ( log 10 | ω | ) com | H ( s ) | (expresso em dB) no eixo y e logaritmo 10 | w | no eixo x.$|H(\omega)|$$\log_{10}|\omega|$$|H(s)|$$\log_{10}|\omega|$

Chegando às perguntas:

1. Em postes, a superfície complexa de picos para o infinito não | H ( ω ) | .$|H(s)|$$|H(\omega)|$

2. Quando um sistema é alimentado com frequência de polo, a saída de co-patrocínio terá a mesma frequência, mas a amplitude e a fase mudarão. O valor pode ser determinado substituindo a frequência em radianos / s em e ϕ ( ω ) respectivamente.$|H(\omega)|$$\phi(\omega)$

3. Um polo a -2 rad / s e 2 rad / s tem o mesmo efeito em . E nosso interesse está na resposta em frequência. Então, precisamos apenas de parte positiva disso.$|H(\omega)|$

Ao tentar entender as funções de transferência, acho que a "analogia da borracha" é muito útil. Imagine uma folha de borracha elástica cobrindo o plano complexo e imagine que, a cada zero da função de transferência, a folha esteja presa ao chão, e em todos os pólos haja um bastão fino literal empurrando a folha de borracha para cima. A magnitude da resposta em frequência é a altura da folha de borracha ao longo do eixo j ω .$s$$j\omega$

1. Da analogia acima, é claro que o ganho sobe em direção ao polo. Mas, afastando-se do poste, a contribuição do poste diminui a função de transferência (por exemplo, indo para o próximo zero). Imagine o sistema simples que você deu como exemplo na sua terceira pergunta. Ele possui um polo com valor real em e - devido a esse polo - também possui um zero em s 0 = ∞ . Então, afastando-se do poste com frequência crescente, a função de transferência diminui porque a folha de borracha é presa ao chão no infinito. Matematicamente, também é fácil ver: H ( s ) = $s_{\infty}=-2$$s_0=\infty$ Em decibéis, obtemos 10log10| H(jω)| 2=-10log10(4)-10log10[(

   $$H(s)=\frac{1}{s+2}\Longrightarrow \left|H(j\omega)\right|^2=\frac{1}{\omega^2+4}=\frac14\frac{1}{\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1}$$ Paraω≫2,o segundo termo no lado direito de (1) pode ser aproximado por -10log10( $$10\log_{10}\left|H(j\omega)\right|^2=-10\log_{10}(4)-10\log_{10}\left[\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1\right]\tag{1}$$ $\omega\gg 2$ que é uma linha reta com uma inclinação de- $$-10\log_{10}\left(\frac{\omega}{2}\right)^2=-20\log_{10}(\omega/2)$$ por década.$-20\,\text{dB}$

2. $H(s)=\frac{1}{s+2}$$x(t)=e^{-2t}$$y(t)=te^{-2t}$$t$$0$$t$

3. $2$$2$$-20$$\omega\gg 2$$2$

$s$$j\omega$$\omega_p=1000$$Q_p=1.3$

O "s" em suas equações é a constante na função exp (s * t). Portanto, quando s é um número real, essa função de tempo é uma função exponencialmente crescente ou decrescente. Seu exemplo com s = -2 é uma função que cai exponencialmente. Para qualquer "número" de pólo, a saída aumentará quando você aplicar uma entrada nesse "número". Se você aplicar um sinal de queda exponencial ao seu circuito de exemplo, o sinal de saída irá para o infinito. (Observe, no entanto, que não é possível gerar um sinal que está sempre caindo exponencialmente, porque esse sinal é muito grande às vezes no passado). Quando você fala de frequências como 2 radianos / s, está falando de polos em j * 2, e não 2, então esses sinais são sinusoidais. É possível gerar sinais que são ondas senoidais (pelo menos por um longo tempo).