Análise de filtro de entalhe ativo Twin-T

Alguém poderia me dar uma dica na análise do filtro de entalhe ativo Twin-T? Tentei uma transformação de estrela delta, seguida de análise nodal, mas acabei com equações conflitantes. Por exemplo, veja a Figura 1 da nota de aplicativo da Texas Instruments " Uma coleção de circuitos de áudio, parte 2 ":

No exemplo mais geral que estou estudando, removo C4 / C5 e R6 / R7 (e esse Vcc) e trato os componentes passivos T como condutâncias correspondentes da seguinte maneira:

R1 e R2 se tornam Y1, R3 se torna 2Y1, C1 e C2 se tornam Y2, C3 se torna 2Y2, R4 e R5 divisor de tensão genérico com resistências R1 e R2

A transformação Delta-Star pode ser usada para analisar a rede Twin-T usando o seguinte procedimento:

1. As duas redes T podem ser convertidas em redes Delta duplas em paralelo:
2. Condensar essas duas redes Delta em uma única rede Delta

3. Converta a rede Delta resultante novamente em uma rede T.

4. Para ver o comportamento de entalhe do gêmeo passivo T, suponha que o nó 2 esteja vinculado ao terra e trate a rede Delta que você obteve na etapa 3 como um divisor de tensão.

   Você encontrará uma função de transferência de .

   $$H(s) =\frac{s^2 + {\omega_0}^2}{s^2 + 4s\omega_0 + {\omega_0}^2}$$

5. $$v_\textrm{out} = \alpha \cdot v_\textrm{out} + H(s) ( v_\textrm{in} - \alpha\cdot v_\textrm{out} )$$ $$H(s)=Z_2/(Z_1 + Z_2)$$ $$G(s) = \frac{1}{(1-\alpha)\frac{1}{H(s)} + \alpha}$$ $\alpha=0$$G(s)=H(s)$$\alpha=1$

$\alpha$

A álgebra das várias transformações é um pouco tediosa. Eu usei o Mathematica para fazer isso:

(* Define the delta-star and star-delta transforms *)

deltaToStar[{z1_,z2_,z3_}]:={z2 z3, z1 z3, z1 z2}/(z1+z2+z3)
starToDelta[z_]:=1/deltaToStar[1/z]

(* Check the definition *)
deltaToStar[{Ra,Rb,Rc}]

(* Make sure these transforms are inverses of each other *)
starToDelta[deltaToStar[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify
deltaToStar[starToDelta[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify

(* Define impedance of a resistor and a capacitor *)
res[R_]:=R
cap[C_]:=1/(s C)

(* Convert the twin T's to twin Delta's *) 
starToDelta[{res[R], cap[2C], res[R]}]//FullSimplify
starToDelta[{cap[C], res[R/2], cap[C]}]//FullSimplify

(* Combine in parallel *)
1/(1/% + 1/%%)//FullSimplify

(* Convert back to a T network *)
deltaToStar[%]//FullSimplify

starToVoltageDivider[z_]:=z[[2]]/(z[[1]]+z[[2]])
starToVoltageDivider[%%]//FullSimplify

% /. {s-> I ω, R ->  1/(ω0 C)} // FullSimplify

Aqui está uma maneira de fazer isso - o filtro de entalhe com feedback é um pouco mais complicado, por enquanto, vou descrever como fazer a forma geral do filtro de entalhe twin-T:

Para resolver o circuito usando análise nodal, o que fazer é converter a fonte de tensão Vin em sua fonte Norton equivalente - é um pouco complicado, porque você precisa converter Vin em duas fontes Norton para contabilizar R1 e C1 e, em seguida, reorganizar o circuito para compensar . Como isso:

Os pontos 1, 2 e 3 são mostrados em suas novas posições no circuito equivalente. Você deve poder escrever as equações da KCL por inspeção e criar uma matriz aumentada de 3 por 3 nas incógnitas V1, V2 e V3. Você pode resolver o V2 ​​/ Vo em termos de Vin usando a regra de Cramer.

$Vo*\alpha$

Editar: primeiro diagrama corrigido