Calcular o número mínimo de resistores de 120Ω para obter 80Ω de resistência?

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Recentemente, tive que fazer um teste em eletrônica básica. Não consegui acertar uma pergunta, mas não entendo bem o porquê.

How many 120Ω resistors are at minimum required to get a resistance of 80Ω?

As respostas possíveis para esta pergunta são 2, 3, 4 and 6. A única resposta que posso encontrar é 6, com os resistores dispostos como visto abaixo. Mas 6não é a resposta correta.

Questão:

Quantos resistores são necessários e para organizá-los?

esquemático

^{simular este circuito - esquemático criado usando o CircuitLab}

Eu sei apenas o básico da eletrônica, então espero que meus pensamentos estejam corretos.

resistors

— Marius Schär
fonte

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@Autistic 120 & 120 em paralell não seria 60?

— Marius Schär

3

talvez autista está sendo Artístico

— Marla

8

O número é três. Deduzir a combinação é deixado como um exercício para o leitor ... mas existem apenas tantas possibilidades.

— Chris Stratton

2

Este é o tipo de problema que pode derrotar todos nós. Às vezes, a solução mais simples está à nossa frente. Encorajo perguntas como esta. Eu realmente gosto de assistir em uma entrevista, esse tipo de pergunta. Martin, não se sinta mal. . Eu mesmo me perdi nesse tipo. Nós ficar trancado dentro de nossos próprios limites

— Marla

4

Eu estava significando 120 em paralelo com 2 resistores de 120 ohm da série.

— Autistic

38

120 || (120 + 120) Se dois 120 em paralelo derem 60, você quer que um dos ramos seja um pouco mais alto, então ... essa é a próxima coisa a tentar.

E o método é verdadeiro em geral para obter um resistor de 2/3 usando apenas uma caixa do mesmo tipo. E, em geral, para resolver problemas como esse, vale lembrar que a resistência equivalente de dois resistores paralelos é menor que a de qualquer um dos ramos. Você também pode obter 3/4 (então 90), por exemplo, adicionando mais um a um ramo.

Nota: Graças ao artigo de Massimo Ortolano , agora eu sei que o que fiz acima seguindo apenas a intuição é que basicamente segui o caminho de pesquisa indicado abaixo na árvore Stern – Brocot :

— Fizz
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Uau, obrigado por isso! Seria realmente útil se eles ensinassem esse método simples na aula.

— Marius Schär

10

O objetivo da educação é frequentemente desencadear a descoberta, não simplesmente contar as coisas.

— Chris Stratton

3

Também codegolf.stackexchange.com/questions/20438/…

— Fizz

65

Uma solução direta pode ser encontrada através da aplicação de frações contínuas .

Se o que você tem é 120Ω e o que você quer é 80Ω, escreva a fração:

\frac{80 Ω}{120 Ω} = 0.6667

$\frac{80\Omega}{120\Omega} = 0.6667$

Como a parte inteira é zero, você começará colocando os resistores em paralelo. Inverta a parte fracionária:

\frac{1}{0.6667} = 1.5

$\frac{1}{0.6667} = 1.5$

Isso indica que você terá 1 resistor em paralelo com algum número de resistores em série. Inverta a parte fracionária novamente:

\frac{1}{0.5} = 2.0

$\frac{1}{0.5} = 2.0$

Isso indica que você precisa de 2 resistores em série. Como não há parte fracionária neste momento, você está pronto.

A resposta é um total de 3 resistores.

— Dave Tweed
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15

Combinações de resistores por frações contínuas ... limpas.

— Jasen

11

Você acha que esse algoritmo fornece a solução mínima [em número de resistores] em geral? Parece que há um artigo recente sobre o tópico, mas parece ser uma revisão orientada para a educação. Não consigo ver menção de minimalidade.

— Fizz

2

Também math.stackexchange.com/questions/14645/… Observe que a resposta aceita está realmente incorreta!

— Fizz

6

@RespawnedFluff: não, geralmente, não fornece uma solução mínima. O uso da expansão de fração contínua produz uma solução composta apenas de combinações paralelas e em série, mas, em geral, soluções com menos resistores podem ser encontradas levando em consideração também os resistores conectados em ponte. Pode-se mostrar que, para redes planares , o problema é equivalente ao do preenchimento de retângulos com quadrados de lados inteiros . Se considerarmos também redes não planas, provavelmente soluções com ainda menos elementos podem ser encontradas.

— Massimo Ortolano

3

Para fins de [melhor] busca de palavras-chave, a solução que Dave indicou é baseada na aproximação da árvore Stern – Brocot de um número real. Descobri isso lendo o artigo de Massimo Ortolano, que também está disponível gratuitamente no arxiv , a propósito.

— Fizz

20

Você pode alterar sua solução trocando serial e paralelo:

schematic

^{simular este circuito - esquemático criado usando o CircuitLab}

Você pode agrupar R2, R3, R5 e R6 em um único grupo 2x2:

schematic

^{simule este circuito}

$120\Omega$ $120\Omega$

schematic

^{simule este circuito}

— catraca arrepiante
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É o mesmo que o user92407 disse que 3 horas antes, embora com um diagrama.

— Dave Tweed

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No entanto, acho útil a adição; na verdade, está usando o problema equivalente de ladrilhos geométricos indicado por Massimo Ortolano . As quatro resistências que podem ser substituídas formam um quadrado [maior].

— Fizz

7

Tome a sua solução, mas sem um ponto central no meio: você pode reorganizá-la como três seções paralelas de 120 + 120 Ohm cada (conectar os pontos médios não faz diferença, pois todos estão na mesma tensão). Agora, duas das três seções paralelas de 120 + 120 Ohm se combinam novamente em 120 Ohm, para que você possa substituir esses 4 resistores dos dois grupos paralelos por um único, deixando apenas um resistor de 120 Ohms paralelo a 120 + 120 Ohm.

Há uma infinidade de soluções que comprovam a correção dessa solução depois que você a possui. Mas esse rearranjo mostra como encontrá-lo sem reverter a tentativa e erro matemáticos.

— user92407
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Na verdade, envolve tentativa e erro [em geral]. Não existe uma solução conhecida para o problema de colocar minimamente um retângulo com quadrados inteiros que não envolvam uma pesquisa exaustiva. Existem algumas heurísticas que podem remover a árvore da solução, mas elas não garantem uma solução mínima.

— Fizz

4

Ao elaborar a resposta de @ RespawnedFluff, uma maneira de descobrir isso é pensar da seguinte maneira:

Quais resistores eu tenho, ok 120.
O que eu preciso fazer, 80
What equations do we know? Well the two resistors in series or parallel are the simplest starting points. Clearly series doesn't help immediately - that would increase the resistance, not reduce it. So we will need to try parallel. We know the equations:

\frac{1 1}{R_{p}} = \frac{1 1}{R_{1 1}} + \frac{1 1}{R_{2}} = \frac{R_{1 1} + R_{2}}{R_{1 1} R_{2}}

$\frac{1}{R_p}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$

Então, talvez vamos começar com isso:

\begin{aligned} \frac{R_{1 1} R_{2}}{R_{1 1} + R_{2}} & = 80 \\ 80 R_{1 1} + 80 R_{2} & = R_{1 1} R_{2} \\ R_{2} & = \frac{80 R_{1 1}}{R_{1 1} - 80} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} &= 80\\\\ 80R_1 + 80R_2 &= R_1 R_2\\\\ R_2 &= \frac{80R_1}{R_1-80} \end{align}$

$R_1=120$ $R_2$
$R_2$ $R_1$ - talvez dois em série ou paralelo e tente novamente para $R_2$ .

Essa abordagem é bastante iterativa, mas nesse caso, ela rapidamente encontraria a resposta que você obteve (usando 6 resistores) e também a resposta @RespawnedFluff (usando 3 resistores).

Se você estava tentando aumentar a resistência (ou seja, a resistência necessária é maior que o valor disponível), basicamente faz o mesmo, mas comece com uma resistência maior disponível ou divida a maior resistência em pedaços de série e resolva-os ( por exemplo, se você quisesse $180\Omega$ , você pode escolher um pedaço de $120\Omega$ e $60\Omega$ )

Você pode se perguntar como o método teria chegado à sua resposta - já que o seu possui três ramos paralelos, enquanto essa abordagem usa dois. Bem, no cálculo $R_2$ acima, iterativamente, você apresentaria $R_2$ sendo um ramo paralelo, que topologicamente é o mesmo como se houvesse três ramos para começar.

— Tom Carpenter
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Corrigida minha resposta. Eu estraguei totalmente minha explicação.

— Tom Carpenter

Se um ramo do resistor for fixo, isso é fácil de resolver (ou determinar que não há solução [inteira]). Ainda não tenho certeza de como resolver, mesmo com dois ramos, não importa em geral. É uma equação diofantina mais complicada.

— Fizz

O problema provavelmente está NP-completo no que diz respeito à enumeração: arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1004/1004.3346.pdf

— Fizz

1

Resistência básica em série e resistência em lógica paralela. Muito simples..

Sabemos que a saída é de 80Ω, por isso é fácil resolver o problema. Experimente a fórmula da resistência paralela:

\frac{1}{R p} = \frac{R 1 + R 2}{R 1 \cdot R 2}

$\frac{1}{Rp} = \frac{R1+R2}{R1\cdot R2}$ Therefore..

R p = \frac{R 1 \cdot R 2}{R 1 + R 2}

$Rp = \frac{R1\cdot R2}{R1+R2}$ Here put

R p = 80 Ω

$Rp = 80\Omega$ .

Now as we know we have resistors of only 120Ω. Put $R1 = 120\Omega$

Solving ... you will get $R2 = 240\Omega$ .

But we cannot use a 240Ω resistor here as it's said that we have only 120Ω resistors. So instead of 240Ω, we will use 120Ω + 120Ω (in series) in parallel with a single 120Ω resistor.

— Rohit Dani
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This is the same thing that Tom Carpenter said 11 hours earlier. Let's try to avoid duplicating answers.

— Dave Tweed