Por que a integral é zero

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Eu me pergunto por que, na suposição de que então? $\omega \gg \frac{1}{T}$ $\int_{0}^{T} \sin(\omega t)dt \approx 0$

Como a integral deve ser como deae depois de conectar o valor, terminaremos com: $\frac{\cos(\omega t)}{w}$ $0$ $T$

\frac{- \cos (ω T) + 1}{ω}

$\frac{-\cos(\omega T)+1}{\omega}$

communication digital-communications detection

— user59419
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Eu estou votando para fechar esta questão como off-topic, porque não se relaciona com a eletrônica e é uma pergunta com base matemática pura, e assim deve pertencer em math.stackexchange.com

— efox29

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Absolutamente não. Essa estimativa é usada em todos os sistemas de comunicação e não é pura questão de matemática, pois em termos de matemática apenas essa integral nem sempre é zero

— user59419

Você quer dizer

?

\frac{1}{T} \int . . .

$\frac{1}{T}\int ...$

— Chu

Não. Não há

. Se

\frac{1}{T}

$\frac{1}{T}$

está presente, faz sentido e já o vi em vários lugares.

\frac{1}{T}

$\frac{1}{T}$

— user59419

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Se você está falando sobre telecomunicações, presumo que estamos falando sobre altas frequências. Se esse é o caso:

$\frac{1}{T} = f$
$\omega \gg \frac{1}{T}$

varia de a , se você dividir isso por um grande número, obterá aproximadamente zero. Para se ter uma ideia: para uma frequência em torno de $−\cos(\omega T)+1$ $0$ $+2$
(que é considerado"ultra baixo"), o resultado será MÁXIMO . $1\;\text{kHz}$ $0.002$

— FMarazzi
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Explicação muito melhor do que minha abordagem de força bruta.

— Arsenal

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Eu não acho que esta é a resposta completa: é possível, mesmo para pequenos valores de

para satisfazer

ω

$\omega$

, se

for grande o suficiente.

ω ≫ \frac{1}{T}

$\omega \gg \frac1T$

T

$T$

— Ilmari Karonen

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@IlmariKaronen T nunca é grande o suficiente nas telecomunicações.

— precisa saber é o seguinte

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Ao aumentar a frequência, estamos colocando mais períodos de oscilação no intervalo de integração.

Como a integral de um seno em um período é zero, devemos considerar apenas o período "incompleto" no final do intervalo de integração.

Quando aumentamos a frequência, a área desse período incompleto se torna cada vez mais fina (explicando o no determinador). $\omega$

— walljam7
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Se eu inserir alguns valores, obtenho o seguinte:

$T = 1$

resultado $\omega \rightarrow$

$10^0 \rightarrow 0.460$

$10^1 \rightarrow 0.184$

$10^2 \rightarrow 0.001$

$10^3 \rightarrow 4.376E-04$

$10^4 \rightarrow 1.952E-04$

$10^5 \rightarrow 1.999E-05$

$10^6 \rightarrow 6.325E-08$

Agora eu não tenho certeza de que ordem de grandeza significa e como pequeno o resultado deve ser para ser considerado , mas ele tende a ficar zero se ele é muito maior. $>>$ $\approx 0$

Quais são os valores típicos para e T que você está olhando? $\omega$

Atualização (devido aos comentários):

Como FMarazzi explicou muito bem, existe um limite superior para o caso em que é -1, então você terá $\cos(\omega T)$ , que é o máximo absoluto que você obterá para qualquer T. $\frac{2}{\omega}$

Portanto, se você escolher o valor para T, de certa forma obterá o máximo para um dado a tabela se transformará em: $\omega$

valor máximo possível $\omega \rightarrow$

$10^0 \rightarrow 2$

$10^1 \rightarrow 0.2$

$10^2 \rightarrow 0.02$

$10^3 \rightarrow 2E-03$

$10^4 \rightarrow 2E-04$

$10^5 \rightarrow 2E-05$

$10^6 \rightarrow 2E-06$

$\omega$ $10^7$

— Arsenal
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Obrigado. Sua pergunta definitivamente faz sentido e esse é exatamente o meu problema, porque a faixa de T e w não é fornecida e apenas a condição de que wT >> 1 seja mencionado. Eu estava pensando o que se T = 1000 ew = 1, em seguida, a integral não é zero.

— user59419

Se T for arbitrário, a área abaixo de sin (wt) será, geralmente, diferente de zero. Deve haver outra restrição.

— Chu

@Chu Não estou dizendo que será 0, apenas tende a ser muito próximo de 0, tão próximo que, para fins práticos, pode ser negligenciado (essa é uma simplificação comum para tornar as coisas solucionáveis para os seres humanos). O FMarazzi realmente deu uma análise melhor do limite superior do resultado.

— Arsenal

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@Arsenal, mas você assumiu um valor para T. Não existe essa especificação na pergunta original - we T são livres para passear. Portanto, a integral pode estar muito longe do zero

— Chu

@Chu sim, isso foi um pouco míope em retrospectiva. Atualizei minha resposta para deixar claro o ponto. Não pode ser muito longe de zero para ômegas mais altos.

— Arsenal

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$\omega$ $T$

Suspeito que seja necessário mais contexto para entender adequadamente o que se entende.

$\approx 0$ $\approx 0$ $T$ $T$ $\omega$

— Peter Green
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