Calcule as resistências de todas as conexões possíveis dentro de uma caixa preta de terminais N com base em medições entre terminais

Embora pareça que este não é o SE certo para esse encadeamento, pois trata-se de criar um algoritmo, o problema é realmente encontrar uma abordagem sistemática para a simplificação de circuitos resistivos arbitrariamente grandes de um padrão específico.

No trabalho, temos vários shorts dentro de um equipamento, mas não sabemos onde. O equipamento é uma caixa preta que não pode ser aberta. Peguei meu multímetro e preenchi uma matriz das resistências em cada combinação dos terminais disponíveis. Algo como:

Como você sabe, essas medidas não fazem sentido por causa do acoplamento cruzado com outros terminais. Quero saber como as redes se conectam - em outras palavras, quero calcular os valores das resistências mostradas no seguinte circuito equivalente (exemplo para N = 4).

esquemático

^{simular este circuito - esquemático criado usando o CircuitLab}

\sum_{i = 1}^{N - 1} (i - 1)

$\sum_{i=1}^{N-1}(i-1)$

\sum_{i = 1}^{N - 1} (i - 1)

$\sum_{i=1}^{N-1}(i-1)$

Para cada medição realizada Rij, onde iej são 0 ... N.
- Calcule a fórmula da resistência equivalente do circuito entre os terminais iej em função das resistências "X". Simplificar.
$(\begin{matrix} R_{1, 2} \\ R_{1, 3} \\ . . . \\ R_{N - 1, N} \end{matrix}) = [X] (\begin{matrix} X_{1, 2} \\ X_{1, 3} \\ . . . \\ X_{N - 1, N} \end{matrix})$ $\left( \begin{array}{c} R_{1,2}\\ R_{1,3}\\ ...\\ R_{N-1,N}\\ \end{array} \right)= \mathbf{[X]}\left( \begin{array}{c} X_{1,2}\\ X_{1,3}\\ ...\\ X_{N-1,N}\\ \end{array} \right)$
$(\begin{matrix} X_{1, 2} \\ X_{1, 3} \\ . . . \\ X_{N - 1, N} \end{matrix}) = {[X]}^{- 1} (\begin{matrix} R_{1, 2} \\ R_{1, 3} \\ . . . \\ R_{N - 1, N} \end{matrix})$ $\left( \begin{array}{c} X_{1,2}\\ X_{1,3}\\ ...\\ X_{N-1,N}\\ \end{array} \right)=\mathbf{[X]}^{-1}\left( \begin{array}{c} R_{1,2}\\ R_{1,3}\\ ...\\ R_{N-1,N}\\ \end{array} \right)$

As etapas 2 e 3 são fáceis, mas estou tendo dificuldade em encontrar um algoritmo para lidar com o cálculo da resistência equivalente automaticamente. Posso fazer até 4 terminais facilmente (há uma transformação Star / Delta para 4), mas meu sistema possui 7 terminais e o método manual simplesmente não é mais o suficiente, e eu tentei.

As leis de Kirchoff parecem mais adequadas à geração automática das equações, mas mesmo que eu consiga gerar as equações dos nós, não tenho uma maneira sistemática de gerar as equações do loop.

É um problema muito interessante e emocionante, para o qual a solução será útil para muitas pessoas na minha opinião. Alguém poderia me ajudar a automatizar o cálculo da resistência equivalente (ou resolvê-lo para N = 7, afinal também funcionaria para N <= 7)?

— Mister Mystère
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Parece que sua formulação já está configurada para N terminais, a menos que esteja faltando alguma coisa. Se for esse o caso, e uma solução numérica é aceitável, qualquer solver matriz padrão deve funcionar, dizem LU decomposição, eliminação de Gauss, etc.

— helloworld922

Se eu tivesse a matriz X preenchida, não teria nenhum problema para resolvê-la com o Matlab. É a etapa de simplificação do circuito pela qual estou lutando para encontrar um algoritmo.

— Mister Mystère

Eu posso ver que fica realmente complicado depois de 3 linhas !!!

— Andy aka

De fato, infelizmente ...

— Mister Mystère

Este artigo pode ser útil se você tiver acesso ao IEEE ( ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?arnumber=1083633 ). Parece que você precisa descobrir como transformar a rede em um equivalente planar primeiro, o que eles indicam que é feito para o caso de 7 gons completos nesta publicação que não consigo encontrar on-line: worldcat.org/ title /…

— Justin

$N = 3$ $R_{12}$

R_{12} = X_{12} | | (X_{13} + X_{23}) = \frac{X_{12} (X_{13} + X_{23})}{X_{12} + X_{23} + X_{13}}

$R_{12} = X_{12} || (X_{13} + X_{23}) = \frac{X_{12} (X_{13} + X_{23})}{X_{12} + X_{23} + X_{13}}$

R_{i j} = a X_{12} + b X_{13} + c X_{23}

$R_{ij} = a X_{12} + b X_{13} + c X_{23}$

a

$a$

b

$b$

c

$c$

Pode haver um método que pula essa multiplicação de matrizes (algo mais próximo das transformações em malha em estrela), mas não estou vendo ...

— Greg d'Eon
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Obrigado, é muito bom conhecer uma demonstração de que algo não é possível antes de perder muito tempo explorando-a. Eu criei outro thread (vinculado) que levou a uma primeira versão da ferramenta com base em um método diferente.

— Mister Mystère

Retrabalhando o circuito em um plano e conectando os resistores em ordem, parece que o N3 fica bloqueado do N5 sem precisar 3D. Portanto, a teoria de malha padrão não se aplica porque as malhas não são planas após N = 4. Possivelmente existe outra metodologia. Palavras-chave: malha de circuito não-plano

Eu tentei colocar isso em um "comentário", mas eu sou um nube ... por isso não é permitido.

— Mike_Lincoln
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Talvez eu

— entenda