Por que a taxa de dados Nyquist é menor que a taxa de dados de Shannon?

No livro Computer Networks , o autor fala sobre a taxa máxima de dados de um canal. Ele apresenta a fórmula de Nyquist:

C = 2H log V (bits / s)$_2$

E dá um exemplo para uma linha telefônica:

um canal silencioso de 3 kHz não pode transmitir sinais binários (ou seja, dois níveis) a uma taxa superior a 6000 bps.

Ele então explica a equação de Shannon:

C = H log (1 + S / N) (bits / s)$_2$

E dá (novamente) um exemplo para uma linha telefônica:

um canal de largura de banda de 3000 Hz com uma relação sinal / ruído térmico de 30 dB (parâmetros típicos da parte analógica do sistema telefônico) nunca pode transmitir muito mais que 30.000 bps

Não entendo por que a taxa de Nyquist é muito menor que a taxa de Shannon, uma vez que a taxa de Shannon leva em consideração o ruído. Suponho que eles não representam a mesma taxa de dados, mas o livro não explica isso.

Para entender isso, primeiro você precisa entender que os bits transmitidos não precisam ser puramente binários, como fornecido no exemplo da capacidade de Nyquist. Digamos que você tenha um sinal que varia entre 0 e 1V. Você pode mapear 0v para [00] .33v para [01] .66v para [10] e 1v para [11]. Portanto, para explicar isso na fórmula de Nyquist, você alteraria 'V' de 2 níveis discretos para 4 níveis discretos, alterando assim sua capacidade de 6000 para 12000. Isso poderia ser feito para qualquer número de valores discretos.

Há um problema com a fórmula de Nyquist. Como não leva em conta o ruído, não há como saber quantos valores discretos são possíveis. Então Shannon apareceu e criou um método para colocar essencialmente um máximo teórico no número de níveis distintos que você pode ler sem erros.

Portanto, no exemplo deles de conseguir 30.000 bps, você precisaria ter 32 valores discretos que podem ser lidos para significar símbolos diferentes.

A taxa de dados Nyquist (não a frequência Nyquist) é a taxa máxima para um sinal binário (2 níveis discretos).

A taxa de Shannon leva em consideração os níveis de sinal, pois a taxa máxima de dados não é apenas uma função da largura de banda - se um número infinito de níveis de sinal puder ser usado, a taxa de dados pode ser infinita, independentemente da largura de banda.
Como o menor incremento de nível possível dependeria da relação sinal / ruído, é por isso que está incluído na taxa de Shannon. Portanto, para o exemplo acima, é mostrado para uma largura de banda de 3000kHz e um SNR de 30dB, você pode transmitir níveis que representam 5 bits de informação cada.

A taxa de potência de 30dB = 1000 para 1 pode ser convertida novamente em tensão por sqrt (1000) = ~ 32 níveis distinguíveis (5 bits). Se aplicarmos isso ao teorema mais simples de Hartley, obtemos 2B * log2 (32) = 30kHz para B = 3Khz. Portanto, 5 bits de informação vezes a taxa de dados Nyquist de 2B (= 6000 neste exemplo) são iguais a 30.000 bits / s.

Um descreve a rapidez com que você faz a amostra; o outro, a quantidade de dados que você pode transferir. A taxa de amostragem mínima exigida é apenas uma função da frequência mais alta que você deseja representar corretamente. Isso é independente da quantidade de ruído no canal. No entanto, com menos ruído, você pode transferir mais informações por amostra. Em outras palavras, Nyquist diz qual deve ser a taxa de amostragem e Shannon diz quantos bits você obtém por amostra.