Duas caixas pretas exibem a mesma impedância em todas as frequências. Qual tem o único resistor?

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Duas caixas pretas exibem a mesma impedância em todas as frequências. O primeiro contém um único resistor de 1 Ohm. Cada extremidade é conectada a um fio, de modo que dois fios se projetem da caixa. A segunda caixa parece idêntica por fora, mas por dentro existem 4 componentes. Um capacitor de 1 F está em paralelo com um resistor de 1 Ohm e um indutor de 1 H está paralelo com o outro resistor de 1 Ohm. O combo RC está em série com o combo RL, conforme mostrado na figura

As caixas são pintadas de preto, inquebráveis, impermeáveis aos raios X e blindadas magneticamente.
Demonstre que a impedância de cada caixa é de 1 Ohm em todas as frequências. Que medida permitiria determinar qual caixa contém o único resistor?

— James
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Estou trabalhando neste quebra-cabeça nas últimas 2 semanas, mas não consegui descobrir nada. É realmente intrigante. Espero que alguém ache isso incrível também e talvez tenha algum avanço.

— James

Você pode nos mostrar algum progresso nisso? Ou em que pensamentos você está trabalhando agora?

— Robherc KV5ROB

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Os componentes são totalmente ideais? Ou seja, todas as indutâncias / capacitâncias / resistências da série são zero? A especificação de uma caixa física real sugere que não, mas não está claro.

— uint128_t 25/02

Parece o tipo de coisa que um professor de criação pode atribuir como problema em uma classe. Você pode dizer se está participando de uma aula ou se está apenas interessado no problema? Onde você encontrou esse problema, se não uma aula?

— Mkeith

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Podemos pesar as caixas? O capacitor tem um limite de tensão? O indutor algum dia saturará?

— Stephen Collings

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Este é um adendo à resposta de luchador .

A dissipação de energia transitória nas duas caixas é muito diferente. A simulação a seguir demonstra isso.

schematic

^{simule este circuito - esquemático criado usando o CircuitLab}

Execute a simulação por 40 segundos e plote a expressão "I (R1.nA) ^ 2 + I (R2.nA) ^ 2", que representa a potência instantânea total nos dois resistores.

Como eu disse no meu comentário, a caixa A não apenas aquecerá mais lentamente enquanto o pulso estiver ligado, mas também exibirá um pico de temperatura quando o pulso terminar, porque a potência instantânea total dissipada nos resistores é dobrada naquele momento. A caixa B não exibirá esse pico.

(NOTA: Se você tiver problemas para executar a simulação, consulte esta publicação do Meta .)

— Dave Tweed
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Eu diria apenas para aumentar a tensão e ver o que acontece. Engenharia no seu melhor.

— Cameron

Oi Dave, você pode explicar por que a energia dissipada nos resistores duplica quando o pulso termina?

— KnightsValour

@ KnightsValour: Você olhou para a simulação? Pouco antes do pulso terminar, a mesma quantidade de energia é armazenada em C1 e L1 e a energia é dissipada em R1. Logo após o pulso terminar, a potência em R1 decai exponencialmente, impulsionada pela carga em C1, mas agora L1 também despeja sua energia em R2, que também decai exponencialmente. A potência instantânea total naquele momento é 2x a potência em estado estacionário.

— Dave Tweed

De fato eu fiz. Minha confusão foi que eu interpretei sua resposta originalmente. Então, ambos os resistores dissipam a energia armazenada em seus respectivos capacitores / indutores, mas a corrente em R1 deve ser oposta na direção a R2, sim?

— KnightsValour

@ KnightsValour: Sim, é claro, mas a direção não importa para um resistor - ele dissipa a energia da mesma forma.

— Dave Tweed

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A única diferença observável é a dissipação atrasada do poder como calor. Qualquer restrição de observar a transferência de calor é contra as leis da termodinâmica. Então, de alguma forma, você pode observar isso e descobrir, apesar dessa lista de restrições.

— Ayhan
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Outro método termodinâmico: Johnson medição de ruído

— Oleksandr R.

Especificamente, se você acionar cada caixa com um pulso retangular, por exemplo, 1V por 1s, a caixa A não apenas aquecerá mais lentamente enquanto o pulso estiver ligado, exibirá um pico de temperatura quando o pulso terminar, porque a potência instantânea total dissipado nos resistores é dobrado no momento. A caixa B não exibirá esse pico. Vou adicionar uma resposta separada que inclui uma simulação que demonstra isso.

— Dave Tweed

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Meça o ruído térmico do resistor e você receberá o KTB da faculdade ou muito perto dele. A caixa com os componentes reativos também emitirá algum ruído mensurável, MAS é a soma vetorial do HF extraído e do LF extraído. A matemática é um pouco longa para isso, mas basta dizer que haverá uma diferença nas suas medições de ruído. Em um analisador de espectro, você verá alguma falta de planicidade em torno da frequência ressonante. Como a rede possui um Q de 1, o efeito será bastante amplo. Se você quis fazer isso como um experimento real e não apenas como um experimento em pensamento, precisará escolher valores de componentes que seriam mais realizáveis fisicamente e mais fáceis de tornar mais ideais.

— Autista
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Você pode aplicar uma tensão CC na caixa A. Isso carregará o capacitor. Agora você pode remover a fonte e medir a tensão armazenada. Isso não funciona para a caixa B.

Atualização: Para essa escolha específica de componentes, o sistema não é observável. Por esse motivo, esse método não funcionará. Quando aplicamos uma tensão no circuito, teremos uma corrente através do indutor e uma carga no capacitor. Assim que removermos a tensão, a corrente do indutor fluirá através do resistor paralelo, cancelando a tensão no capacitor. A corrente do indutor e a tensão no capacitor decaem na mesma taxa. Eles não podem ser observados de fora.

— Mario
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Se você aplicar o potencial CC em toda a caixa, uma carga baixa se acumulará no capacitor e uma corrente moderada se acumulará no indutor (lembre-se, o capacitor está sendo constantemente curto-circuitado em um rexistor de 1ohm). Não sei qual terá um efeito mais demonstrável, mas, como nenhum circuito real possui equilíbrio 'perfeito' e traços de condutor, definitivamente haveria energia expressa através dos pinos quando a fonte DC fosse removida repentinamente.

— Robherc KV5ROB

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Seu primeiro parágrafo é verdadeiro e sua "atualização" está errada.

— hkBattousai

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Por que você acha que a atualização está errada?

— Mario

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A atualização está correta. Assumindo que o circuito tenha sido conectado a uma fonte de tensão de 1 V CC por um período significativo de tempo, a corrente do indutor é de 1 A e a tensão do indutor é de 0 V. A tensão do capacitor é de 1V e o resistor de 1 ohm em paralelo com ele conduz 1 A. Se você agora desconectar a fonte de tensão, a tensão do capacitor ainda será inicialmente de 1V e diminuirá a partir daí. No entanto, a corrente do indutor também será inicialmente 1A e, como essa corrente precisa se deteriorar através do resistor paralelo do indutor, ela produzirá uma tensão igual, mas oposta em polaridade à tensão do capacitor.

— JMS

De fato, a pergunta em si pressupõe componentes ideais; portanto, respostas que dependem de características não ideais (como medir o espectro do ruído térmico dos resistores) não me parecem válidas. Embora eles ainda sejam muito interessantes. Você pode distinguir um ovo cozido de um ovo cru girando, aprisionando e soltando (esta resposta me lembrou disso), mas se o conteúdo do ovo cru estiver livre para girar perfeitamente sem atrito, isso não funcionará.

— greggo

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$R_L$ $L$ $R_{(L)}$

$R_L$ $R_{(L)}$

R t = \frac{R_{L} \times R_{(L)}}{R_{L} + R_{(L)}} ohms,

$Rt = \frac{R_L \times R_{(L)} }{R_L \ + R_{(L)}} \text { ohms,}$

$R_L \Omega$ $0\Omega$

$R_T$ $R_C$

A caixa B, no entanto, contém um resistor de um ohm, para que as identidades das caixas possam ser confirmadas medindo-se as resistências de ponta a ponta dos fios que se projetam das caixas, com a caixa A exibindo uma resistência maior que a caixa B.

— Campos EM
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Esses problemas de pensamento assumem que todos os componentes são ideais; isto é, o indutor não tem resistência. Também sua notação RL vs R (L) é bruta.

— Jay Carlson

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@ JayCarlson: Bem, Jay, independentemente do que você acha da minha notação, é claro o suficiente para o objetivo em questão, e eu resolvi o problema do modo real, já que o uso de componentes imaginários não foi especificado conforme necessário . Você, por outro lado, contribuiu ???

— EM Fields

É bastante claro que os componentes são considerados ideais. Caso contrário, você poderá detectar uma carga não resistiva de várias maneiras diretas. Também isto: conduza com um tom e detecte energia mecânica (isto é, som) do indutor.

— 26516 greggo

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Faça um terceiro terminal, fechando firmemente a caixa atual com uma caixa de metal (ou use a caixa atual, se ela já for de metal). Em seguida, meça a resposta de frequência de cada um dos dois terminais originais com relação a este novo terminal: As respostas da Caixa B devem ser mais simétricas (a Caixa A deve mostrar alguma diferença dependendo se você sonda o terminal do capacitor ou o terminal do indutor).

Duvido que você possa projetar duas caixas de forma que elas sejam indistinguíveis para esse experimento de três terminais. Por favor, indique os detalhes da caixa, se puder.

— bobuhito
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Esse "teste" seria facilmente derrotado simplesmente construindo cada caixa com uma blindagem interna conectada a um dos terminais.

— Dave Tweed

a

$\style{color:red;font-size:100}{\boldsymbol {a}}$

t h e

$\style{color:red;font-size:100}{\boldsymbol {the}}$

0

Vamos supor, para começar, que os componentes sejam suficientemente compatíveis, o que é um problema devido às tolerâncias em capacitores e indutores.

Você está assumindo um indutor ideal. No mundo real, o núcleo do indutor entra em saturação com suficiente corrente / frequência aplicada. A menos que você tenha um indutor de núcleo de ar, é claro, mas isso sempre irradiará de várias maneiras interessantes que são detectáveis externamente.

Você também está assumindo que o capacitor não está polarizado e não possui tensão de ruptura. A polarização é fácil de verificar - basta colocar uma tensão negativa nela. A tensão de ruptura pode ser mais difícil, já que precisaríamos de muita corrente também. A solução óbvia, porém, é que uma mudança gradual na corrente (um desligamento rígido) produzirá um aumento maciço de tensão do indutor. É assim que as velas de ignição de um carro são acionadas, produzindo vários kV a partir de uma bateria de 12V. Fazer o mesmo aqui provavelmente levaria o capacitor além da tensão de ruptura.

— Graham
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Conecte um refletômetro no domínio do tempo e envie um pulso para a caixa. As reflexões devem mostrar a presença de múltiplos elementos.

— Adam Haun
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Não. Os componentes "ideais" não têm um atraso de tempo.

— Dave Tweed

Estou confuso sobre até que ponto isso deveria ser um sistema físico. Os componentes idealizados e agrupados estão fisicamente separados? Nesse caso, há um atraso.

— Adam Haun