Prova de que todo circuito com diodos tem exatamente uma solução

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Considere um circuito eletrônico que consiste em componentes lineares mais um número de diodos ideais. Por "ideal", quero dizer que eles podem ter polarização direta (ou seja, e ) ou polarizados (ou seja, e ). $v_D=0$ $i_D\geq 0$ $v_D\leq 0$ $i_D=0$

Esses circuitos podem ser calculados declarando arbitrariamente cada diodo com polarização direta ou polarizada reversa e definindo para cada diodo polarizado para frente e para cada diodo polarizado reversamente. Após o cálculo do circuito linear resultante, temos que verificar se a cada diodo polarizado para a frente e a cada diodo polarizado para a frente é satisfeito. Se sim, essa é a nossa solução. Caso contrário, temos que tentar outro conjunto de opções para os diodos. Portanto, para os diodos , podemos calcular o circuito calculando no máximo circuitos lineares (geralmente muito menos). $v_D=0$ $i_D=0$ $i_D\geq 0$ $v_D\leq 0$ $N$ $2^N$

Por que isso funciona? Em outras palavras, por que sempre há uma opção que leva a uma solução válida e (mais interessante) por que nunca existem duas opções que levam a soluções válidas?

Deveria ser possível provar que, no mesmo nível de rigor com que, por exemplo, o teorema de Thevenin é comprovado nos livros didáticos.

Um link para uma prova na literatura também seria uma resposta aceitável.

circuit-analysis diodes

— Stefan
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Porque um circuito físico pode estar em um único estado por vez. Não é mecânica quântica ...

— Eugene Sh.

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@EugeneSh .: Isso é verdade, mas não é isso que o OP está pedindo. Alguns circuitos podem estar em qualquer um de vários estados diferentes, dadas condições externas idênticas. A questão é provar que existe apenas um estado para a classe de circuitos que o OP está descrevendo.

— Dave Tweed

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@Eugene Sh .: por exemplo, um flip flop (ou qualquer circuito biestável) é um contra-exemplo de um circuito que possui mais de uma solução. Se não houver "mesma condição inicial" fornecida, você deverá assumir quaisquer condições e verificar quais soluções estáveis estão disponíveis e descobrirá que alguns circuitos têm apenas um, independentemente das condições iniciais (por exemplo, circuitos lineares) e outros possuem mais de um .

— Coalhada

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@EugeneSh. O objetivo aqui é provar que o comportamento em estado estacionário do circuito de diodos não depende das condições iniciais; existe apenas uma solução estável. Ao contrário de um flip-flop, que possui várias soluções estáveis e pode ser usado como um elemento de memória (as "condições iniciais" são uma gravação de memória).

— Evan

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@EugeneSh. A questão não é que um circuito não linear possa estar em um estado bem definido, dadas as condições iniciais, mas exatamente o oposto. O teorema ao qual o OP se refere garante que existe apenas uma solução, independentemente das condições iniciais , o que é bastante peculiar para um circuito não linear.

— Lorenzo Donati - Codidact.org

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Suponho que isso seja um problema artificial, em que exista um circuito com passivos conhecidos e alguns I's e Vs sejam dados e pontos marcados para diodos de direção desconhecida. Minha resposta é:

Esperamos que os criadores dos problemas tenham se restringido a casos em que suas suposições levam a suas conclusões.

Poderia ser teoricamente insolúvel por ter um diodo estranho; considere aterrar os dois lados de um diodo. Pode haver casos não triviais usando aterramento virtual ou outras tensões iguais que podem ser difíceis de detectar.

Certamente poderia existir circuitos válidos que diferem apenas pela direção de um diodo para qualquer valor de "circuito válido" que inclua diodos. Considere a possibilidade de modelar comutadores usando essas regras ideais de diodo. Como você pode decidir se um comutador deveria estar ligado ou desligado? Espero que as correntes e tensões fornecidas dêem dicas suficientes. E espero que eles não tenham dado dicas conflitantes.

Isso muda a pergunta para "Como você pode saber se uma instância tem informações suficientes para ser exclusiva?" Lembro-me de que a resposta era algo como você precisa de um independente para cada desconhecido independente, mas tenho certeza de que não pude provar isso ou fazer um teste geral para a independência de qualquer um.

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Para diodos ideais, pode haver várias soluções.

Contra-exemplo trivial: tome qualquer circuito que contenha diodos ideais que você resolveu. Agora substitua um dos diodos ideais por, se conduzindo para frente, um par de diodos conectados em paralelo ou com polarização reversa, um par em série, mantendo a orientação nos dois casos. Como você resolve a distribuição de corrente ou tensão entre os dois? Você não pode, o modelo de diodo ideal leva a um casco convexo de soluções igualmente válidas.

— Ben Voigt
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Você está realmente ampliando a definição de "circuito" aqui. Dois diodos ideais de polarização reversa em série criam um nó isolado entre eles e dois diodos ideais de polarização direta em paralelo criam um loop isolado. Isso não é útil no contexto da pergunta.

— 21716 Dave

@DaveTweed: Como a pós-modificação do circuito é menos um circuito do que era antes da alteração?

— Ben Voigt

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Não é, mas sua modificação não cria uma distinção útil. Se dois diodos ideais se juntam a um par de nós de circuito, a única coisa que importa é a tensão total ou a corrente total entre esses nós; a distribuição da tensão ou corrente entre os diodos individualmente não tem nenhuma importância. E jogar um termo irrelevante como "casco convexo" é apenas tecnobabble.

— Dave Tweed

Isso é muito útil, pois mostra que não há esperança de uma prova de exclusividade sem outras suposições. Obviamente, a próxima pergunta é se é suficiente excluir dois diodos em uma linha e dois diodos em paralelo, ou se existem contra-exemplos de maior complexidade.

— 27516 Stefan

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Não tenho uma prova rigorosa, mas a ideia geral é que, desde que os componentes de um circuito tenham curvas VI que são funções de valor único (isso inclui diodos e componentes lineares), pode haver apenas uma solução para o circuito em geral.

— Dave Tweed
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Tipo de indução em uma superposição. O gabinete base seria um circuito de diodo único, fácil de mostrar com uma única solução. Então a etapa de indução para mostrar a combinação dos circuitos de base está tendo uma solução única.

— Eugene Sh.

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No entanto, o diodo ideal discutido na equação não possui uma curva IV de valor único.

— Ben Voigt

@BenVoigt: Ao lidar com componentes ideais e os zeros e infinitos associados, você deve ter cuidado. O conceito de limites é crucial: a resistência direta é infinitesimal, mas não zero, e a condutância reversa também é infinitesimal, mas não zero. Quando considerada dessa maneira, a equação é realmente de valor único.

— Dave Tweed

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Eu acho que é bem simples:

você pode tratar os diodos ideais com polarização direta como curtos e os diodos ideais com polaridade reversa como circuitos abertos. Portanto, em qualquer caso, você obtém circuitos apenas com componentes lineares (porque todos os diodos resolvem abrir circuitos ou curtos) e sabe-se que esses circuitos lineares têm exatamente uma solução.

— Coalhada
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Mas cada um desses circuitos terá uma solução - como você prova que apenas um é autoconsistente?

— Ben Voigt

@ Ben Voigt: ok, eu entendo. Que ainda não está provado (e provavelmente é o trabalho principal)

— Curd

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Na entrada de linhas de carregamento da Wikipedia

Existe apenas uma solução única devido à natureza do problema. Isso é melhor ilustrado graficamente, na forma de linhas de carga. O diodo possui uma equação que descreve a relação entre a corrente através dele (eixo y) e a tensão através dele (eixo x). Aqui, o eixo x é a tensão através do diodo.

Veja o que acontece com a corrente no resistor conforme a tensão no diodo muda. Se a tensão for Vdd através do diodo, não haverá queda de tensão no resistor, pois a tensão no resistor e no diodo deve somar a Vdd) e, portanto, haveria corrente zero no resistor (Lei de Ohm). Da mesma forma, se houvesse uma queda de tensão zero no diodo, haveria Vdd no resistor e a corrente no resistor seria Vdd / R.

Agora, sabemos que essas são situações irreais, pois a corrente no diodo e no resistor deve ser igual. Dada a equação para o resistor (linear) e a equação para o diodo (não linear, mas monotônico), podemos ver no gráfico que isso só pode acontecer em um ponto único, a interseção das duas curvas.

Assim, a solução simultânea de três equações (o resistor, o diodo e o fato de que as duas correntes devem ser iguais) fornece uma solução única.

Este método funcionará para todos os elementos do circuito.

É um pouco diferente para os diodos de corrente reversa, pois a corrente do resistor segue o contrário e um quadrante precisa ser adicionado ao gráfico.

— Scott Seidman
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A curva IV do diodo que você mostra não é a curva IV de um diodo ideal .

— Coalhada 25/07

@ Curd: Dada a falta de fatores de escala, está perto o suficiente. Veja meu comentário para Ben Voigt.

— 21416 Dave McLean -

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Essa é uma boa explicação para o caso com um diodo, mas meu problema real é o caso de vários diodos.

— Stefan

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A 'prova' disso funcionaria apenas para certos circuitos. Se você tiver algum ganho e os únicos elementos não lineares forem os próprios diodos, poderá ter vários estados possíveis. Por exemplo (pode não ser o exemplo mais simples possível).

Esse circuito funcionará com um amplificador operacional perfeitamente linear ideal e a saída nunca será infinita ou saturada; no entanto, com 0V, pode ser cerca de +6 ou cerca de -6 na saída, com um par ou outro de diodos conduzindo . Também funcionará com diodos 'quase ideais' que apresentam uma queda direta quando ativados e sem outras não-idealidades.

esquemático

(e, claro, os diodos dos túneis são um caso especial com sua curva IV não monotônica).

Provavelmente, a prova precisaria apenas de elementos passivos, como resistores (sem corrente dependente ou fonte de tensão). Ou talvez apenas com diodos ideais com 0V Vf.

— Spehro Pefhany
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Não está claro que a classe de circuitos de que falamos aqui exclua qualquer coisa com ganho, como dispositivos de 3 terminais ou dispositivos de resistência negativa?

— Dave Tweed

@DaveTweed Não, não é. A pergunta original diz 'componentes lineares' que não são restritivos o suficiente, pelo menos para diodos com queda direta. As perguntas típicas dos livros didáticos possuem apenas fontes e resistores independentes de tensão e corrente e diodos ideais ou um tanto ideais. Circuitos reais e úteis geralmente envolvem amplificadores operacionais, IME.

— Spehro Pefhany

Eu quis dizer o que você descreve como perguntas típicas de livros didáticos.

— 27516 Stefan

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Você está certo, a pergunta deve dizer "passivo" se significa excluir elementos ativos, mas lineares.

— Ben Voigt

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Esta não é uma prova completa, mas talvez o coloque no caminho certo:

Se houver várias soluções, há pelo menos um diodo que pode ser polarizado para frente ou para trás. Considere um desses diodos. Em uma determinada solução, ela é polarizada para frente ou para trás. Vamos definir as tensões em seus terminais, Va e Vb, de modo que, se for polarizado para frente, Va> = Vb, e se for polarizado reversamente, Vb> = Va. No caso de polarização direta ou reversa, o resto do circuito (RotC) produz essas tensões nos terminais do diodo.

Como você declarou que o circuito consiste em elementos e diodos lineares, o RotC é uma rede puramente linear ou inclui mais diodos.

Se o RotC é uma rede puramente linear, ele possui apenas uma solução e a única solução para as restrições Va> = Vb e Vb> = Va é Va = Vb.

Se o RotC incluir mais diodos com várias soluções possíveis, considere o próximo diodo. Novamente, ele está conectado a uma rede linear ou a uma rede com mais diodos com várias soluções possíveis.

Se assumirmos que há um número finito de diodos no circuito ...

— PProteus
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