Vou focar minha resposta apenas na transmissão, sem explicar por que a fase 3 é útil em geral, porque outras respostas fizeram isso.
A transmissão de energia é um compromisso. Um compromisso entre eficiência de transmissão e facilidade de conversão. A maneira mais eficiente de transmitir energia elétrica é a CC. É por isso que a maioria das linhas superlongas são HVDC (corrente direta de alta tensão). No entanto, o DC é o pior para convertê-lo em HV quando você deseja enviá-lo da estação de energia e voltar para LV quando você deseja alimentá-lo para os consumidores.
AC, por outro lado, é muito conveniente para converter - basta colocar um transformador. No entanto, a transmissão é péssima. Por exemplo. A CA irradia parte da energia, mas essa não é a principal preocupação. Se você olhar para o gráfico sinusoidal, perceberá que o fio CA não funciona 100% do tempo. Enquanto o cabo CC carrega corrente útil o tempo todo (pode-se pensar em CC como 100% de ciclo de serviço PWM), o cabo CA carrega corrente apenas parte do tempo. Isso significa que, para o mesmo pico de tensão (que determina o custo de isolamento da linha) e para o mesmo pico de corrente (que determina o tamanho e o custo dos condutores), a CA pode transmitir apenas parte da energia.
Aí vem a idéia de multifásica. Claro que a multi-fase sozinha não significa nada, você pode ter 3 fases em 6 condutores (3 pares completamente independentes um do outro). A chave aqui é compartilhar os fios entre as fases. É como um beliche quente em um navio de guerra - 2 marinheiros compartilham um beliche, quando um cara acorda e inicia seu turno, o outro termina seu turno e vai dormir. A questão é não ter um beliche vazio apenas desperdiçando espaço, e a CA trifásica funciona com o mesmo conceito: no momento em que uma fase "descansa", outra fase está reutilizando um de seus fios para transmitir a própria corrente. Não é claro à primeira vista, porque é muito fluido, um cai em direção a 0 enquanto os outros sobem, e nunca há um tempo em que uma fase como um fio seja só para si. Mas o objetivo é reutilizar o tempo ocioso dos fios.
Por que 3? Como 2 é muito pequeno, você não pode ter 2 fases em 2 fios. 3 é o número mínimo de fases que podem compartilhar todos os fios. Por que compensar? Porque uma fase nos condutores X é a mesma coisa que 1 condutor X vezes mais espesso.
Quando você compara o sistema trifásico a um sistema monofásico, pode ver claramente que, ao adicionar apenas 50% mais fios, você obtém 3 vezes mais corrente.
A transmissão trifásica usa os fios DUAS VEZES tão eficazmente quanto a monofásica.
Então você pode usar metade do cobre ao construir a linha.