Escalando a saída da FFT pelo número de pontos na FFT

Ao calcular a FFT do ponto N de algum sinal, o resultado é sempre dividido por N. Entendo por que esse é o caso de um somatório sobre os N pontos, mas geralmente o resultado da operação da FFT é um vetor de comprimento N do que um somatório. Por que, então, o vetor comprimento-N que é a saída da FFT é escalado pelo número de pontos (N) usado para calcular a FFT? Obrigado.

A diferença é que a transformada digital de Fourier (e também a FFT) fornece um vetor de tamanho N (ou M em alguns casos) que contém somas de N amostras.

Portanto, basicamente, cada ponto da transformação FFT é o resultado de uma soma em um determinado intervalo de tempo das amostras baseadas em tempo. É por isso que você divide por N.

Você pode considerar da seguinte maneira: você faz um intervalo de N amostras do seu sinal; então, você basicamente soma todas as amostras N vezes, mas cada vez as multiplica para uma função diferente, que permite extrair as informações para uma frequência específica (ou faixa de frequência, para ser mais preciso).

No final, em resumo, em vez de ter N amostras, cada uma associada a um intervalo de tempo, você tem N amostras (como antes), mas cada uma delas relacionada a todo o intervalo e descrevendo o componente do sinal para uma faixa de frequência específica .

Apenas para completar, há quatro casos de transformação de Fourier:

1. Transformação contínua de Fourier, para sinais contínuos no tempo, em um intervalo finito, que fornece uma resposta de frequência contínua;

2. Séries de Fourier, captando um sinal contínuo e periódico e fornecendo séries discretas de harmônicas, com componentes freqüenciais discretos;

3. Transformada de Fourier discreta no tempo, a recíproca de (2), na qual a partir de um sinal discreto no tempo fornece uma função periódica no domínio da frequência;

4. Transformação digital de Fourier, que recebe um sinal discreto e periódico para fornecer um espectro discreto e periódico.

Assim, transformar um sinal periódico fornece um espectro discreto e vice-versa.

O fator de escala 1 / N é quase arbitrário. Uma FFT sem escala, seguida por um IFFT sem escala, usando exatamente os mesmos fatores exponenciais complexos, multiplica o vetor de entrada pelo escalonador N. alguns pares de implementação FFT / IFFT escalam a FFT em 1 / N, alguns escalam a IFFT em 1 / N, alguns escalam ambos em 1 / sqrt (N).