Em vez de tentar medir a corrente do motor enquanto está no circuito, eu mediria o motor sozinho. Isso é mais fácil de fazer e vamos descobrir quais são os limites, não apenas o que acontece com o circuito.
Desconecte o motor e opere-o a partir de uma fonte de alimentação de 4,5V, que é o que esperar de três pilhas AA novas em série. Se você tiver uma fonte de alimentação que possa mostrar corrente, isso será bom o suficiente. Espero que a corrente seja de pelo menos alguns 100 mA, o que a maioria das fontes de alimentação mostrará com resolução razoável. Caso contrário, coloque seu amperímetro em série com o motor para medir a corrente. Comece com a escala 1A.
Existem duas medidas que você deve fazer para ter uma ideia do motor. O primeiro é com o motor funcionando sem carga. Deixe as rodas girarem livremente. O motor consumirá a corrente mínima dessa maneira. Em seguida, tente-o por um curto período de tempo com as rodas presas para que nada gire. O motor consumirá a corrente máxima dessa maneira. Isso também é conhecido como "corrente de estol", que você veria em sua folha de dados se tivesse uma. Deixe as rodas girarem um pouco para obter a corrente de estol em diferentes posições do motor. Os motores CC escovados podem ter um consumo de corrente um pouco diferente ao longo de uma revolução, dependendo de qual combinação de bobinas está sendo ativada pelas escovas.
Depois de ter a corrente mínima e máxima, você pode projetar seu circuito de acionamento em torno dele. Como você provavelmente deseja acionamento variável e bidirecional, você deseja acionar o motor com uma ponte H controlada por PWM do micro. Não sei quais recursos o arduino possui, mas existem micros reais por aí com hardware PWM especificamente destinado a conduzir essas pontes H. Eles facilitam a mudança de direção, manejam a quebra antes de serem feitos, etc.