Por que o quadrado médio da raiz é usado no cálculo da potência média, e não simplesmente a média da tensão / corrente?

$$P = I_{\text{eff}}^2 \times R$$ em$I_{\text{eff}}$ é a corrente efetiva. Para que a energia seja média$I$ devo ser a corrente média, portanto, suponho que a corrente efetiva seja a corrente média.

Nesse caso, por que é $I_{\text{eff}}$ não simplesmente

$$I_{\text{eff}} = \frac{1}{t}\int_{0}^{t} |i|dt$$

Em vez disso, é definido da seguinte maneira:

$$I_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{1}{t}\int_{0}^{t} i^2dt}$$

Assim, o uso dessas duas expressões para calcular $P$ resulta em respostas diferentes.

Porque isto é assim? Isso não faz sentido para mim. Só posso supor que estou interpretando mal a corrente efetiva é a corrente média. Se este não for o caso, no entanto, eu não vejo como $P$ pode ser a potência média quando $I_{\text{eff}}$ não é a corrente média.

Tome um exemplo simples em que as somas são triviais. Eu tenho uma voltagem 50% das vezes e 50% das vezes. É 10V quando está ligado. A tensão média é assim de 5V. Se eu conectar um resistor de 1 ohm através dele, ele dissipará 100W quando estiver ligado e 0W quando estiver desligado. A potência média é, portanto, 50W.

Agora deixe a tensão ligada o tempo todo, mas faça 5V. A tensão média ainda é de 5V, mas a potência média é de apenas 25W. Opa

Ou suponha que eu tenha a tensão apenas em 10% das vezes, mas é 50V. A voltagem média é de 5V novamente, mas a potência é de 2500W quando ligada e 0W quando desligada, então uma média de 250W.

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Na realidade, para calcular a potência em geral, você deve integrar (tensão instantânea) * (corrente instantânea) durante um período da forma de onda para obter a média (ou de 0 a algum tempo t, como no seu exemplo, para encontrar a potência em algum intervalo) .

Se (e é um grande se) a carga é um resistor fixo R, você pode dizer que v = i * R, então a potência instantânea é i ^ 2 * R e, portanto, você pode integrar i ^ 2 ao longo do período para obter o " Corrente RMS "e multiplique por R mais tarde (já que é fixo, ele não entra na integral).

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A corrente RMS não é particularmente útil se a carga for algo não linear como um diodo. Pode ser útil na análise de perdas em algo como um capacitor com um determinado ESR. As perdas (e o efeito de aquecimento resultante que diminui a vida útil do capacitor) serão proporcionais à corrente RMS, não à média.

Para que a potência seja média, devo ser a corrente média, então estou supondo que a corrente efetiva seja a corrente média.

Em resumo, tensão média x corrente média somente é igual à potência média quando a tensão e a corrente são quantidades DC. Pense no seguinte exemplo: -

Se você aplicasse 230 V CA da tomada da rede elétrica a um elemento de aquecimento, ele ficaria quente ou até quente. Está tomando o poder pelo qual você pode ser cobrado. 230 V CA é uma onda senoidal e todas as ondas senoidais têm um valor médio de zero. A corrente resultante que flui através do elemento de aquecimento também é uma onda senoidal com um valor médio de zero.

Portanto, usar tensão média x corrente média produz zero potência média e claramente isso está errado. É a tensão RMS x corrente RMS que dará uma resposta significativa (independentemente de ser CC ou CA).

Você precisa voltar ao básico e se perguntar qual é a potência - é tensão x corrente e esses são valores instantâneos multiplicados juntos. Isso resulta em uma forma de onda de energia como esta: -

Por causa do ato de multiplicação, a forma de onda de energia agora tem um valor médio diferente de zero . Levando isso um passo adiante, se o resistor de carga fosse de 1 ohm, a amplitude da corrente será igual à amplitude da tensão aplicada, portanto, a potência se tornará a média de .$v^2$

Isso nos leva a dizer que a energia é the mean of the square of voltage(ou corrente) e, considerando que escolhemos 1 ohm neste exemplo, também podemos dizer que a tensão efetiva que produz essa energia é o valor square root of the mean of the voltage squaredou "RMS".

Portanto, para uma onda senoidal de amplitude de pico , a parte superior da onda de energia é v 2 p k e, porque a onda de energia produzida por uma onda senoidal ao quadrado também é uma onda senoidal (com o dobro da frequência), a média (média) o valor é: -$v_{pk}$$v^2_{pk}$

. Então, pegando a raiz quadrada para obter atensãoefetivaque obtemos$\dfrac{v^2_{pk}}{2}$ ouvp$\sqrt{\dfrac{v^2_{pk}}{2}}$$\dfrac{v_{pk}}{\sqrt{2}}$

Com efeito, o valor RMS de uma tensão CA (ou corrente) é o valor equivalente de uma tensão CC (ou corrente) que produz o mesmo efeito de aquecimento em uma carga resistiva.

So no, average voltage or average current is irrelevant but average power is king.

O diabo está nos detalhes quando você trabalha a matemática.

Dado que a potência instantânea , então a potência média é: P avg = ¯ P inst = ¯ i 2 ⋅ R = ¯ i 2 ⋅ R = $P_\text{inst} = i^2 \cdot R$

$$P_\text{avg}= \overline{P_\text{inst}} = \overline{i^2 \cdot R} =\overline{i^2} \cdot R = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2dt \cdot R$$

A corrente CC efetiva é aquela que dissipa a mesma potência média então segue: I 2 eff =

$$P_\text{avg}=I_\text{eff}^2 \cdot R$$ $$I_\text{eff}^2 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt$$ $$I_\text{eff} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt}$$

If you look at average voltage/current and RMS voltage/current, they are different because of the properties of integrals. In other words,

$$\int_{a}^{b}i^2 \ dt \neq\Big[\int_{a}^{b}i \ dt\Big]^2$$ If this property were true, then the squared could be pulled out of the integral and cancel with the square root.

Additionally, there is the issue of the $\frac{1}{T}$ underneath the square root which would also cause issues.

In summary, it is because the math does not work out that way.

Average power is just the integral of work, over some finite time period, divided by that time period. For your case, each instant of work is:

$$\textrm{d}U = P_t\cdot \textrm{d}t =R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

So, you integrate that to get total work for some finite period and then, to convert that into an average power value, you just divide it by the finite period. Or:

$$\overline{P}=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

If $R_t$ is a constant over time, then:

$$\overline{P}=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

But if you want to now construct some kind of fictional effective current that fits the $R\cdot I_{eff}^2$ model, then by simple inspection of the above equation it must be the case that:

$$\begin{align*} \overline{P}=R\cdot I_{eff}^2=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \\ \therefore~~~~~~~~~~~~~ I_{eff}^2 &=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \end{align*}$$

It's just an equivalent substitution, right?

And then obviously:

$$\begin{align*} I_{eff} &=\sqrt{\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t} \end{align*}$$

If you start things so that $t_0=0$ and set $t_1=t$ then you get your own equation. It's that easy, really.

Imagine two currents flow simultaneously through your load:

• DC current of 1A
• AC current with 1A amplitude

The total current will look something like this:

Now, if we apply your formula for $I_{eff}$, we will get 1A, as if the AC component produced zero power. I hope you agree that this makes even less sense than the original formula.

Consider $R=1\Omega$ and and a current of 1A for one second and 10A for another second. What's the average power?

Obviously, it is

$$\bar{P}=\frac{1s\cdot 1A^2\cdot 1\Omega+1s\cdot 10A^2\cdot 1\Omega}{2s}=50.5W$$

Let's rewrite this:

$$\bar{P}=1\Omega*\underbrace{\left(\frac{1s\cdot 1A^2+1s\cdot 10A^2}{2s}\right)}_{=I_{eff}^2}$$

On the other hand, the average current is 5.5A, which gives an "average power" of 30.25W.

The point is, the power formula contains the square of the current, so the effective current is higher than just the average of the (absolute value of) the current.

Let me put this in more general terms: Instant power P(t) dissipated over a load is a product (in mathematical sense as multiplication) of V(t) and I(t). Or I(t)*I(t)/R for that matter. Average power is therefore an average[I(t)*I(t)]/R. The paradox is in the well-known mathematical theorem that an average of a product of variable functions is not equal to product of their averages,

[(V(t)I(t)] != [V(t)]*[I(t)];

equivalently,

[I(t)^2] != [I(t)]*[I(t)]

To illustrate this basic calculus problem to some extreme, assume that you have a resistor load of 1 Ohm, and the voltage is pulsed as 10V for 10% duty cycle, 10% up, 90% no voltage. The real dissipated power is 10V*10A = 100W for 10% of the duty cycle, and zero for the rest of duty cycle. So the average power dissipated by this resistor is 10W.

Now, if you take (or even measure!) the averages separately using separate meters, the average [V] of this pulsed waveform will come up as 1V, and the average of I will come as 1A. Multiplying the measured results one might come to a conclusion that the power consumed by this "device" is only 1W, which will be totally wrong by a factor of 10!!!.

This is a typical mistake in many disciplines and applications. For example this mistake is in the basis of many bogus claims of some magical water heaters that produce more output than the "consumed electricity" usually explained by "cold fusion", or some other BS. There are even patents granted on these "pulsed heaters".