Quando é necessário ou permitido amostrar abaixo da taxa de Nyquist


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Pesquisei perguntas e respostas anteriores nesta plataforma, mas nenhuma responde a essa pergunta. Um professor disse que é possível amostrar abaixo da taxa de Nyquist sob certas condições. Gostaria de saber, primeiro, se é possível fazer isso, se sim, quando?


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quando você não está interessado em reconstruir a forma de onda.
JonRB

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As respostas abaixo oferecem uma opinião sobre sua pergunta; Quando li sua pergunta, o primeiro pensamento que me ocorreu foi que seu instrutor estava se referindo à amostragem sub Nyquist de sinais esparsos . Existem muitos artigos sobre esse tópico; veja, por exemplo, Mishali, Moshe e Yonina C. Eldar. "Da teoria à prática: amostragem sub-Nyquist de sinais analógicos de banda larga esparsos". (Você também pode querer considerar fazer uma pergunta separada, mais focado em DSP.SE, se o ângulo escassa é o que você está depois.)
Mad Jack

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@ JonRB, supondo que você tenha um sinal de rádio FM mono em uma operadora de 100 MHz, você realmente acha que precisa amostrá-lo a 200 MHz +?
Vladimir Cravero

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Permitido por quem? Tenho certeza de que posso provar de qualquer forma que escolher, na privacidade da minha própria casa.
David Richerby

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@DrunkenCodeMonkey Não. A largura de banda de um sinal FM comercial é de 300kHz, portanto uma taxa de amostragem de 600kHz seria suficiente.
precisa saber é o seguinte

Respostas:


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Primeiro de tudo, vamos nos livrar do equívoco da taxa de Nyquist.

As pessoas geralmente aprendem que a frequência mínima de amostragem precisa ser duas vezes a frequência da frequência mais alta no sinal. Isso é completamente falso!

O que é verdade é que, se você tem um espectro "completo", e por completo, quero dizer que ele usa completamente todas as frequências entre a borda inferior de sua largura de banda e a borda superior de sua largura de banda, então você precisa ter a frequência de amostragem isso é pelo menos duas vezes a largura de banda do sinal.

Espectro

Portanto, na imagem aqui, a frequência de amostragem precisa ser de pelo menos 2 * (Fh-Fl) para obter o espectro.

Você também deve ter em mente que, depois de fazer a amostragem, todas as informações sobre a frequência real são perdidas no sinal amostrado. É aqui que toda a história sobre a frequência de Nyquist entra em cena. Se a frequência de amostragem é o dobro da frequência mais alta do sinal, podemos assumir com segurança (como costumamos ser treinados para fazer subconscientemente) que todas as frequências no sinal amostrado estão entre zero e metade da frequência de amostragem.
Na realidade, o espectro do sinal amostrado é periódico em torno de Fs / 2 e podemos usar essa periodicidade para obter taxas de amostragem mais baixas.
Veja a seguinte imagem: Zonas de Nyquist
A área entre 0 e Fs / 2 é a chamada primeira zona de Nyquist. Essa é a área em que estamos fazendo a amostragem "tradicional". Em seguida, dê uma olhada na área entre os Fs / 2 e Fs. Esta é a segunda zona de Nyquist. Se houver algum sinal nessa área, seu espectro será amostrado e seu espectro será invertido, ou seja, as frequências alta e baixa serão invertidas. Em seguida, temos a terceira zona de Nyquist, entre os Fs e 3Fs / 2. Os sinais aqui, quando amostrados, parecerão que vieram da primeira zona e seu espectro será normal. O mesmo vale para todas as outras zonas, com a regra de que o espectro de zonas com números ímpares é normal e o espectro de zonas com números pares é invertido.

Agora, isso contraria as regras "tradicionais" sobre o aliasing, já que o aliasing geralmente é ensinado como um monstro do mal que acaba com seus sinais e que você precisa usar os filtros anti-aliasing low-pass para se livrar dele. Na vida real, não é assim que as coisas realmente funcionam. Os filtros anti-aliasing não podem realmente impedir o aliasing, eles apenas o reduzem ao nível em que não importa mais.
O que realmente queremos fazer é eliminar qualquer sinal forte das zonas de Nyquist que não seja de interesse e deixar passar os sinais da zona de Nyquist que são de interesse para nós. Se estamos na primeira zona, então um filtro passa-baixo é bom, mas para todas as outras zonas, precisamos de um filtro de passagem de faixa que nos permita obter os sinais úteis dessa zona e remover o lixo que não usamos. não precisa que vem das outras zonas.

Então, vamos dar uma olhada neste exemplo: Aqui temos um sinal na terceira zona Nyquist que está sendo transmitida por um filtro passa-banda. Nosso ADC precisará ter apenas a frequência de amostragem duas vezes a largura de banda do sinal para reconstruí-lo, mas sempre precisamos ter em mente que este é realmente um sinal da terceira zona, quando precisamos calcular as frequências dentro do nosso sinal. Esse procedimento geralmente é chamado de amostragem de passagem de banda ou subamostragem.
Zonas Nyquist com sinal de passagem de banda

Agora, depois de toda essa exposição, responda sua pergunta quando:
Bem, vamos dar uma olhada no rádio, talvez algo no espectro de microondas, talvez WiFi. Um canal WiFi típico de estilo antigo pode ter 20 MHz de largura de banda, mas a frequência da operadora seria de cerca de 2,4 GHz. Portanto, se adotarmos nossa abordagem ingênua para amostrar diretamente o sinal, precisaríamos de um ADC de 5 GHz para ver nosso sinal, mesmo que estejamos interessados ​​apenas em 20 MHz de espectro. Um conversor analógico-digital de 5 GHz é algo muito complicado e caro, além de exigir um design muito complicado e caro. Por outro lado, um ADC de 40 MHz é algo que não é tão "mágico" quanto um ADC de 5 GHz.
É preciso ter em mente que, embora possamos teoricamente capturar sinal com um ADC de 40 MHz, precisaríamos de filtros anti-aliasing muito nítidos; portanto, na prática, não queremos realmente executar a amostragem. frequência muito próxima da largura de banda. Outra coisa que também é esquecida é que o circuito de um ADC da vida real se comporta como um filtro por si só. Os efeitos de filtragem de um ADC precisam ser levados em consideração ao fazer a amostragem de passagem de banda. Freqüentemente, existem ADCs especiais com larguras de banda muito maiores que a taxa de amostragem projetada especificamente com a amostragem de passagem de banda em mente.

Finalmente, há o outro lado da história, também chamado de sensor comprimido. Eu não sou especialista nisso, e é algo que ainda é um pouco novo, mas a idéia básica é que, se certas suposições forem cumpridas (como o espectro é escasso), podemos amostrar em frequências ainda menores que o dobro da largura de banda do sinal.


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Heh, rabisco muitos diagramas o dia todo ao explicar coisas para as pessoas. Eu realmente acredito que o desenho áspero é o idioma principal do engenheiro :)
Marcus Müller

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Isso me deu flashbacks da análise dos dados de vento do radar Doppler.
casey

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no seu cenário de exemplo, uma amostra de "20 MHz ADC" a 20 MHz ou uma amostra a 40 MHz? Porém, anteriormente, você afirma que um "ADC de 5 GHz" é necessário para converter uma operadora de 2,4 GHz. Portanto, estou deduzindo que um "20 MHz ADC" significa 20 Meg amostra por segundo. Algo não está certo: fs = 2 * BW.
glen_geek

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Nos dias anteriores aos escopos digitais, algumas empresas criavam "escopos de amostragem" que usavam uma amostra analógica e mantinham com um tempo de captura curto, de modo que, se alguém soubesse que a entrada tinha, por exemplo, apenas conteúdo entre 10,02MHz e 10,03MHz, poderia amostrar em 10.000Mhz e veja um sinal na faixa de 20KHz a 30KHz. Se a taxa de amostragem fosse bem calibrada, seria possível medir a frequência da tela do escopo com mais precisão do que medir a frequência diretamente da tela.
precisa saber é

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+1; resposta muito boa Gostaria de acrescentar apenas uma coisa à sua discussão no final sobre a amostragem de WiFi usando um ADC de 40 MHz. Embora isso seja possível em princípio, na prática você não gostaria de tentar amostrar um sinal na ~ 120ª zona Nyquist. A subamostragem é uma técnica comum, mas em sistemas práticos geralmente é limitada à segunda ou terceira amostragem da zona de Nyquist (e talvez a quarta). À medida que o sinal aumenta de frequência, o efeito deletério da instabilidade do relógio ADC se torna proporcionalmente pior. Você não seria capaz de encontrar um ADC de 40 MSPS com largura de banda analógica de 2,4 GHz.
Jason R

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Assim, muitas pessoas, incluindo professores, estão confusas sobre o que é a taxa de Nyquist:

Taxa de Nyquist é a taxa de amostragem necessária para amostrar um sinal para evitar danificá-lo por meio de aliasing

O que isso significa é que, para sinais com valor real e amostragem com valor real, a taxa de amostragem deve ser mais de duas vezes a largura de banda do sinal analógico.

Isso significa que, com uma taxa de amostragem de 6 kHz, você pode obter uma representação de 100% de qualquer banda de 3 kHz de largura.

Isso não significa que a taxa de amostragem precise ser duas vezes a frequência mais alta no sinal. Se os seus 3 kHz, por exemplo, são a banda entre 9 kHz e 12 kHz, você não precisa amostrar a 2 · 12 kHz = 24 kHz; 6 kHz é totalmente suficiente para representar sem ambiguidade o sinal digitalmente. Você ainda precisa saber que seus 3 kHz estão centralizados em torno de 10,5 kHz, se você quiser relacioná-lo posteriormente com outros sinais, mas geralmente isso não importa.

Chamamos essa técnica de subamostragem , e ela funciona muito bem, e é uma técnica 100% padrão com muitas aplicações técnicas. Tudo o que você precisa é ter certeza de que tudo o que o seu ADC (conversor analógico-digital) vê é ilimitado em banda à metade de sua taxa de amostragem - ou seja, no exemplo acima mencionado, você deve ter certeza de que não há sinal abaixo de 9 kHz e não sinal acima de 12 kHz.


comentários avançados

banda base complexa

Observe que isso é verdade apenas para amostragem com valor real. Se você usou itens como desmoduladores de QI (também conhecidos como misturadores de conversão direta , desmoduladores de quadratura ) para fornecer uma banda base complexa e equivalente , você obtém dois fluxos de amostras síncronas. Nesse caso, o fator 2 cai. Este é um aspecto muito importante para o rádio definido por software .

estruturas polifásicas

Se você estiver nas partes posteriores de um curso DSP, seu professor pode ter sugerido o fato de que você pode implementar coisas como reamostradores racionais, em que normalmente seria necessário fazer um upsample por um fator de M e filtrar para apagar todas as imagens. (o filtro é executado na taxa de entrada · M) e, em seguida, filtra para evitar todos os aliases (o filtro é executado na taxa de entrada · M) antes da redução da amostragem por N, com um único filtro que efetivamente é executado a 1 / N da taxa de entrada - que na verdade é sub Amostragem nyquist. Mas isso seria basicamente um dos destaques de uma palestra sobre sistemas polifásicos / multirados, e duvido que ele tenha divulgado isso em um curso para iniciantes - é muito confuso.


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Nunca. Mas você precisa entender exatamente o que realmente é a "taxa Nyquist".

Nyquist afirmou que você pode reconstruir o sinal, desde que ele seja amostrado a uma taxa que é mais do que o dobro da largura de banda do sinal. Essa largura de banda pode ou não iniciar no DC, mas muitas fontes neste tópico assumem que sempre o faz e que o componente de frequência mais alta do sinal determina a taxa de Nyquist.

Por exemplo, se você possui um sinal de transmissão AM em 1 MHz, com limite de banda de ± 10 kHz, a taxa de Nyquist é 2 × 20 kHz = 40 kHz, não 2 × 1,01 MHz = 2,02 MHz.


@ user287001: Isso é verdade apenas se você assumir que as bandas laterais são idênticas (AM puro). Com os vários sistemas estéreo AM e / ou sinais analógicos / digitais híbridos ( IBOC ) etc., isso não é válido. E não, a operadora não adiciona nenhuma informação, então não sei por que você acha que "incluí-la" aumenta repentinamente a largura de banda tão dramaticamente.
Dave Tweed

BTW amostras em Fs> 2,02 MHz salva o fato de que o sinal estava em torno de 1 MHz - só precisa saber também que nenhum aliasing ocorre ..
user287001

+1 para "nunca". No entanto, a contradição (confusão maciça) é que a amostragem de Nyquist avalia (estima) o sinal direto de DC até f / 2. De DC . Portanto, se o sinal não iniciar em CC, ele poderá ser convertido em baixa, e somente então a taxa de amostragem poderá ser reduzida. Portanto, a resposta ainda é "Nunca".
Ale..chenski 4/17/17

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Um professor disse que é possível amostrar abaixo da taxa de Nyquist sob certas condições.

Se tudo o que você está interessado é calcular o valor RMS de uma forma de onda, é possível fazer a amostra abaixo de nyquist: -

insira a descrição da imagem aqui

A forma de onda azul também é uma onda senoidal com o mesmo valor RMS que o original. O que você deve evitar é o seguinte: -

insira a descrição da imagem aqui

Exatamente dois sampes são capturados a cada ciclo e é impossível saber se o sinal alternativo era de fato a forma de onda vermelha ou verde.


famostrafsinal

@ Marcus Acho que cobri essa anomalia!
Andy aka

Seu valor RMS não dependeria apenas da fase em que sua amostragem ocorre? ou seja, se você tiver azar, poderá acabar "olhando" apenas para zero cruzamento ou pico.
Marcus Müller

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@ MarcusMüller: Mais exatamente, a parte de um sinal em uma determinada frequência será indistinguível da de qualquer outra frequência que seja deslocada para cima ou para baixo por um múltiplo inteiro da taxa de amostragem. Se alguém estiver amostrando a 100Hz, um sinal de 60Hz aparecerá como um sinal de 40Hz. Se um sinal de 40Hz estivesse bom, ótimo. Mas um sinal em 99, 101, 199, 201, etc. Hz apareceria como um sinal de 1Hz e um sinal em 99,99Hz apareceria como um sinal de 0,01Hz.
precisa saber é

A amostragem e a frequência base devem ser diferentes e não em uma divisão inteira. Não estou dizendo que é necessariamente simples ou mesmo desejável, apenas estou apontando que é possível. A segunda imagem na minha resposta alude à possível desvantagem.
Andy aka

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O critério nyquist informa com que frequência você precisa amostrar para reconstruir um sinal com banda limitada. No entanto, nenhum sinal físico é limitado à banda, isso é apenas uma idealização. Outros esquemas funcionarão para amostrar outros sinais idealizados. Ao fornecer informações a priori sobre um sinal (que é limitado à banda), Nyquist explica como reconstruir o sinal inteiro a partir de algumas amostras. Se eu fornecer informações diferentes a priori, você poderá fazer melhor que nyquist. Aqui está um exemplo: meus sinais idealizados são lineares por partes. Só é necessário amostrar esses sinais em seus pontos de inflexão: muito menos amostras do que uma necessária para sinais com banda limitada. Para reconstruir todo o sinal, desenhe linhas retas entre os pontos de amostra. Você pode chamar isso de critério "Linequist". :)


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Um sinal periódico pode ser amostrado usando a taxa de amostragem sub-Nyquist. Isso é bem explorado nos osciloscópios. Uma amostra é salva para cada repetição de sinal, mas em uma posição diferente do período. Precisa de 512 amostras? então são necessários 512 perions completos do sinal.

A precisão:

É fácil ver que uma onda senoidal estacionária pode ser capturada dessa maneira. Mas essas 512 amostras devem cobrir o sinal. Isso é verdade se 256º e harmônicos superiores puderem ser considerados zeros.


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Às vezes, isso é intencionalmente feito, por exemplo, em um osciloscópio de amostragem (não é o mesmo que um DSO, embora alguns DSOs também estejam amostrando - mas um osciloscópio de amostragem pode ser um dispositivo totalmente analógico e eles foram construídos desde a década de 1950), para lidar com periódicos sinais com freqüência muito alta para serem econômicos para amplificar ou tratar com circuitos lineares - não existem muitos CRTs de osciloscópio (ed) que possam lidar com um sinal bruto de 1 GHz (alguns existem!), no entanto, 1 GHz foi fácil de lidar com subamostragem mesmo com a tecnologia dos anos 60. No final, todo o sistema se comporta de maneira semelhante (não idêntica) a um receptor heterodinâmico. Embora não haja LO de alta frequência de onda contínua, ainda há um componente de frequência muito alta oculto (e usado) no relógio de amostragem usado:

Obviamente, um sinal não periódico não pode ser examinado dessa maneira, e um sinal com componentes de frequência muito mais baixos adicionados pode ser completamente deturpado e / ou mal interpretado.


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Eu acho que o que [rackandboneman] disse é consistente com a intenção do professor. A 'certa condição' seria que o sinal original fosse periódico.

Aqui está um código para mostrar como reconstruir o sinal original a partir de um sinal sub-amostrado. O sinal original precisa de um período de amostragem de 1/100 para reconstruir seu padrão único (embora sua frequência fundamental seja 8/100). Ao amostrar com um período de amostragem de 1,5 / 100 s, o padrão do sinal original é reconstruído quase perfeitamente com um período de amostragem de 0,5 / 100. (Em breve, o período de amostragem de 0,5 / 100 é feito a partir do período de amostragem de 1,5 / 100.)

dt = 1/1000;
t = 0:1/1000:1.28-1/1000;
x1 = 10000*t(1:20).^2;
x2 = -10000*(t(21:40)-0.04).^2+8;
x3 = 8*ones(1,20);
x4 = -800*t(61:70)+56;
x5 = zeros(1,10);

x = [x1 x2 x3 x4 x5] ; 
x = [x x x x];
x = [x x x x];  % make x to be periodic

dtz = 1.5/100;
tz = 0:dtz:1.28-1/1000;
z = x(1: round(dtz/dt) : end);
figure('Name', 'undersampled signal');
plot(tz,z,'o',t,x,'-')
legend('Under sampled signal', 'The original signal')

insira a descrição da imagem aqui

figure('Name', 'Reconstructed signal');
plot(t(1:5:160),z(mod((0:31)*11,16)+1), 'o-',t(1:160),x(1:160), '-');
legend('Reconstructed signal', 'The original signal')

insira a descrição da imagem aqui


Isso poderia ser muito mais claro. Que técnica você está usando para reconstruir? De onde vêm os números mágicos em "z (mod ((0:31) * 11,16) +1)")? Além disso, o PERÍODO fundamental é 8/100, não a frequência - mas o que importa para Nyquist é a maior frequência presente.
Selvek

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Se um sinal for amostrado na taxa S, qualquer conteúdo com frequência f será indistinguível de qualquer outro conteúdo com frequência NS + f ou NS-f para algum número inteiro N.

A adequação de uma determinada taxa de amostragem dependerá da existência de duas frequências cujo conteúdo precisaria ser distinguido, mas não pode.

Se alguém estiver preocupado apenas com sinais na faixa de 700-800Hz, a entrada será desprovida de conteúdo abaixo de 300Hz ou acima de 1200, e a presença de outros sinais não causará recorte, uma taxa de amostragem de 1000Hz seria adequada sem qualquer pré- filtragem, apesar da presença de conteúdo cuja largura de banda total é de 900Hz. O conteúdo no intervalo de 300Hz a 700Hz seria indistinguível do conteúdo no intervalo de 800Hz a 1200Hz, mas se alguém não se importar com esse conteúdo que não importaria.

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