Por que um circuito RC não altera a forma de um seno de entrada?

Na figura acima, a onda quadrada vermelha é a entrada e a onda azul é a saída de um circuito RC. Não consigo entender por que obtenho uma onda senoidal perfeita quando alimento uma onda senoidal como entrada. O capacitor precisa levar algum tempo para carregar e descarregar. Portanto, minha intuição diz que a saída é uma onda periódica cujo período é metade da entrada. Alguém poderia esclarecer isso para mim? Obrigado!

No domínio do tempo, não deveria fazer algo assim?
Em t = 0, o capacitor tem 0 voltagem. Como a tensão de entrada é grande, o capacitor continua carregando e encontra a onda senoidal de entrada quando esta cai.

Então a tensão de entrada fica mais baixa que a tensão do capacitor, de modo que o capacitor começa a descarregar e novamente encontra a onda senoidal de entrada quando está subindo.

Aprenda a pensar no espaço de frequências. Essa é uma daquelas coisas que é difícil de ver no domínio do tempo, mas cai bem no domínio da frequência.

Uma onda senoidal é uma frequência "pura" única. Um filtro RC é um sistema linear que não pode distorcer, o que significa que não pode criar frequências na saída que não estão na entrada. Quando você coloca apenas uma frequência, a saída pode conter apenas essa frequência. As únicas perguntas são: qual será a amplitude relativa e a mudança de fase da entrada para a saída.

A razão pela qual uma onda quadrada não resulta em uma onda quadrada é porque uma onda quadrada contém muitas frequências. Cada um deles pode ser atenuado e a fase alterada independentemente. Quando você altera a força relativa e as fases dos harmônicos, obtém um sinal de aparência diferente no domínio do tempo.

Uma onda quadrada pode ser pensada como a superposição de uma série infinita de senos. São todos os harmônicos ímpares (múltiplos inteiros ímpares da frequência fundamental). A amplitude desses harmônicos diminui em frequências mais altas.

Você pode passar uma onda quadrada através de vários filtros RC passa-baixas em sucessão, cada um com uma frequência de rolloff bem abaixo da frequência da onda quadrada. Após cada filtro, o resultado se parece cada vez mais com um seno. Isso ocorre porque esses filtros atenuam as frequências altas mais do que as baixas. Isso significa que os harmônicos da onda quadrada são mais atenuados que o fundamental. Se você fizer isso o suficiente, os harmônicos terão tão pouca amplitude em relação ao fundamental, que tudo que você vê é fundamental. Essa é uma frequência única, então um seno.

Adicionado

Não é assim que qualquer filtro RC reagiria:

Para um filtro passa-baixa RC, quando a frequência de entrada está bem abaixo do rolloff, a saída geralmente segue apenas a entrada. Bem acima da frequência de rolloff, a saída é parte integrante da entrada.

De qualquer forma, não haverá mudanças repentinas na inclinação da saída, como você mostra. Não há nada de especial no cruzamento de entrada acima ou abaixo da saída, pois isso ocorre sem problemas. Você obtém um ponto de inflexão na saída, mas é uma corcova suave, pois a entrada se aproxima sem problemas antes e sai sem problemas depois.

Pode ser instrutivo escrever um loop para simular isso sozinho. Tudo o que você precisa fazer em cada etapa é alterar a saída por uma pequena fração da diferença instantânea da entrada menos a saída. É isso aí. Em seguida, jogue uma onda senoidal e veja como a saída segue suavemente para formar outro seno, embora com atraso de fase e amplitude menor.

Lembre-se de que a taxa de variação da tensão do capacitor depende da diferença de tensão entre a tensão de entrada e a tensão do capacitor. Seu gráfico não representa isso.

Quando a entrada e o capacitor estão em 0 V e a entrada começa a aumentar, a tensão do capacitor deve começar a subir lentamente, pois a tensão de entrada (e, portanto, a diferença de tensão) também é pequena.

Quando a entrada atinge o pico, a diferença de tensão é máxima, e aqui a tensão do capacitor aumenta mais rapidamente. Quando a tensão de entrada começa a diminuir, a taxa de carregamento do capacitor também diminui. Depois que as duas tensões são atingidas, a diferença é novamente pequena para começar, portanto a taxa de descarga também é pequena. Acontece que isso resulta em outra onda senoidal.

O gráfico abaixo foi simulado (com uma planilha) com a regra mencionada acima. A diferença de tensão entre a tensão de entrada e a do capacitor é maior um pouco antes do pico da tensão de entrada.

$2\pi$

Em seu gráfico, o capacitor descarrega mais rapidamente logo após o encontro das duas tensões, mas não é aí que a diferença de tensão é maior. Com uma entrada de onda quadrada, seria, já que a tensão de entrada não mudaria novamente até mais um "passo" na onda quadrada. Uma entrada de onda senoidal, no entanto, muda constantemente.

Você obterá uma onda senoidal a partir de uma onda senoidal se sua constante de tempo RC permitir que o capacitor carregue / descarregue na mesma taxa ou mais rápido conforme a forma de onda de entrada muda.

Sua forma de onda de saída será atrasada pelo capacitor carregando e descarregando um pouco atrás das alterações na forma de onda de entrada, conhecidas como atraso de fase.

Você encontrará muita teoria e matemática por trás disso na internet, se ainda não a tiver.

Para mim, o domínio do tempo aqui é mais explicativo. Se você olhar para o seu primeiro gráfico, verá o que aparece como uma função de etapa (no primeiro semestre). Ou seja, você repentinamente aplica uma voltagem e depois a mantém constante. Isso significa que o capacitor tentará atingir a tensão aplicada de acordo com suas próprias leis, aqui do formulário 1-exp(-x).

Se, por outro lado, você aplicar uma onda senoidal, durante o mesmo período não terá mais um aumento acentuado de tensão e não permanecerá constante: aumentará cada vez mais devagar, até que um pico seja atingido, então diminuirá cada vez mais rápido, sumetricamente em torno de seu pico. Isso significa que o capacitor primeiro carrega, mais devagar e mais devagar, depois descarrega cada vez mais rápido. O que você desenhou é o resultado de (no mínimo) uma carga contínua; o seno também descarregará.

RC$\sin(x)=i\frac{exp(-ix)-exp(ix)}{2}$