Como calcular a impedância de entrada?

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Uso um filtro Sallen-Key para um projeto na universidade e preciso saber sua impedância de entrada. Existe uma maneira de computá-lo teoricamente?

Aqui está o meu circuito:

Filtro Sallen-Key

filter impedance

— risadinhas
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Você considera o amplificador operacional ideal ou o TL071 real?

— clabacchio

@clabacchio: o ideal op-amp

— snickers

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Sim, este é um problema padrão de análise de circuitos.

Execute a análise no domínio da frequência (R e Xc) e conecte uma fonte de corrente de 1 A CA na entrada. Resolva a tensão de entrada em função da frequência e essa expressão é a impedância.

Sugiro usar a análise nodal para realizar a análise.

Suponha que o amplificador operacional seja ideal e, portanto, a corrente nos terminais +/- seja zero e a tensão nesses terminais seja igual.

— madrivereric
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Encontrei qual gráfico é o mesmo (no Matlab) que o do post da compumike (no CircuitLab)

Z_{Eu n} (ω) = \frac{R_{24} (R_{3} + R_{23}) + j ω C (R_{23} R_{4} R_{24} + 2 R_{3} R_{23} R_{24} - R_{3} R_{4} R_{5}) + (j ω)^{2} C^{2} R_{3} R_{23} R_{4} R_{24}}{R_{24} + j ω C (2 R_{23} R_{24} - R_{4} R_{5}) + (j ω)^{2} C^{2} R_{23} R_{4} R_{24}}

$Z_{in}(\omega)=\frac{R_{24}(R_3+R_{23})+j\omega C(R_{23}R_4R_{24}+2R_3R_{23}R_{24}-R_3R_4R_5)+(j\omega)^2C^2R_3R_{23}R_4R_{24}}{R_{24}+j\omega C(2R_{23}R_{24}-R_4R_5)+(j\omega)^2C^2R_{23}R_4R_{24}}$

— snickers

Como você chegou a isso?

— Egor Tamarin

@EgorTamarin É um segredo

— Atizs 30/03/19

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Calcular a impedância de entrada manualmente é quase certamente o que você deve fazer, como as outras respostas sugeriram. Eu só queria mostrar a você como obter alguns números de um simulador de circuito para que você possa verificar seu trabalho (ou aplicar o mesmo conceito a um circuito mais complicado). Aqui está o seu filtro Sallen-Key no CircuitLab :

E aqui está a simulação no domínio da frequência mostrando a impedância de entrada observando a entrada:

impedância de entrada versus frequência

Você pode abrir o circuito e alterar os parâmetros, a configuração, o modelo do amplificador operacional, etc. Basta pressionar F5 e você verá o gráfico de V (out) / V (in) Bode, bem como o gráfico de impedância de entrada que eu ' incluímos uma captura de tela acima. O uso de expressões personalizadas no simulador MAG(V(in)/I(R1.nB))permite calcular quantidades como pequenas impedâncias de sinal rapidamente!

Usar uma fonte de corrente de teste, em vez de uma fonte de tensão de teste, faz sentido para como eu provavelmente resolveria isso no papel. No entanto, para fins de simulação, o uso de uma fonte de tensão como entrada de teste nos permite entender mais facilmente o V(out)/V(in)gráfico Bode ao mesmo tempo.

— compumike
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@ snickers Eu praticamente calculo a impedância de entrada, Zin na minha cabeça.

Bem, você pode resolvê-lo usando a Lei de Ohm e somando as equações dos nós, mas depois de fazer isso algumas vezes, basta fazê-lo na sua cabeça.

Etapa 1. Faça uma análise DC
Etapa 2. Faça uma análise AC em que f é >> fo (BPF)
Etapa 3. Descubra o que acontece em f = fo

aqui vamos nos.
1. Zin = R1 + R2
2. Zin = R1 (desde C5 = 0Ω)
3. Zin = circuito aberto devido ao cancelamento de sinais. ou seja, sem feedback e, portanto, ganho máximo.

Portanto, se você tiver um desses analisadores de rede HP ou Anritsu Vector, você obtém o Zin com um grande pico em f0 em uma linha plana, onde o Zin começa em 35,6kΩ e termina em 33,0kΩ ou algo próximo disso ...

Mas gosto da bela simulação e do gráfico feitos acima por um de nossos engenheiros jovens e astutos.

Está vendo do meu jeito? ou seu caminho começando com insira a descrição da imagem aqui

— Tony Stewart Sunnyskyguy EE75
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Entendi, mas o que preciso é de uma expressão analítica. De qualquer forma útil para estimar em movimento.

— snickers

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Use o teorema do elemento extra, conforme explicado na Wikipedia. Existem vários caminhos para a solução com essa abordagem (já que qualquer um dos componentes pode ser considerado o "extra"). Escolher C4 como elemento extra parece uma das opções mais simples.

No seu circuito, o amplificador operacional complica um pouco as coisas, mas você pode anotar as correntes e tensões no esquema para calcular as várias impedâncias necessárias.

Depois de dominar o teorema dos elementos extras, você poderá prosseguir para o Teorema dos Elementos N-Extra generalizados (NEET, originalmente desenvolvido por S. Sabharwal), que permite que você escreva a resposta por inspeção e um pouco de álgebra no esquemático:

Z_{Eu n} = (R 3 + R 23) \frac{1 + s [C 5 (R 3 | | R 23) + C 4 (R 4 + (R 3 | | R 23) - \frac{(1 + R 5 / R 24)}{1 + R 23 / R 3} R 4)] + s^{2} C 5 C 4 (R 3 | | R 23) R 4}{1 + s [C 5 R 23 + C 4 (R 4 + R 23 - (1 + R 5 / R 24) R 4)] + s^{2} C 5 C 4 R 23 R 4}

$Z_{in}=(R3+R23) \frac{1+s[C5(R3||R23)+C4(R4+(R3||R23)-\frac{(1+R5/R24)}{1+R23/R3}R4)]+s^2C5C4(R3||R23)R4}{1+s[C5R23+C4(R4+R23-(1+R5/R24)R4)]+s^2C5C4R23R4}$

— Art Brown
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Você pode obter a impedância de entrada desse circuito ativo usando as técnicas de circuitos analíticos rápidos ou FACTs . Instale um gerador de teste $I_T$ através dos terminais de entrada do seu filtro. o $I_T$ corrente é o estímulo enquanto a tensão $V_T$ através da fonte é a resposta.

Primeiro, considere o circuito para $s=0$ : circuito aberto todas as tampas. e inspecione o circuito abaixo.

A resistência de entrada nesta condição é simplesmente $R_0=R_3+R_{23}$ .

Agora, reduza a excitação para 0 A e abra a fonte de corrente em circuito aberto. Em seguida, "examine" os terminais de conexão do capacitor para determinar as constantes de tempo associadas neste modo:

A primeira constante de tempo é encontrada por inspeção, enquanto você precisa de algumas equações para obter a segunda $C_4$ . Você combina essas constantes de tempo para formar $b_1=\tau_5+\tau_4$ . Então, curta $C_5$ e "olha" novamente através $C_4$ terminais para obter o novo tempo constante. É fácil, é $R_4C_4$ . Você tem $b_2=\tau_5\tau_{54}$ . O denominador é igual a $D(s)=1+sb_1+s^2b_2$ .

Para os zeros, considere uma resposta $V_T$ na fonte atual igual a zero: anulamos a resposta. Uma resposta zerada em uma fonte de corrente é semelhante à substituição da fonte de corrente por um curto-circuito. Aqui vamos nós:

A matemática não é difícil e você determinará $\tau_{5N}$ , $\tau_{4N}$ e $\tau_{54N}$ da mesma maneira que fiz nas linhas acima. O numerador é obtido combinando essas constantes de tempo: $N(s)=1+s(\tau_{4N}+\tau_{5N})+s^2(\tau_{5N}\tau_{54N})$ . Finalmente, a função de transferência é $Z_{in}(s)=R_0\frac{N(s)}{D(s)}$ .

Eu capturei esses dados em uma planilha do Mathcad:

e as parcelas estão aqui:

Um rápido SPICE sim nos diz que está correto:

Mais trabalho pode ser feito para reorganizar um pouco a função de transferência com fatores de qualidade $N$ e $D$ mas nada insuperável. os FACTs são uma ferramenta poderosa e levam você à função de transferência desejada em algumas etapas, todas verificáveis por uma simulação.

— Kint Verbal
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