Uma onda triangular teria componentes sinusoidais finitos ou infinitos?

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Uma descontinuidade faz com que um sinal tenha componentes sinusoidais infinitos, mas uma onda triangular é contínua, eu estava participando de uma aula na qual um instrutor disse que, como a onda triangular é contínua, ela pode ser representada por um número finito de componentes senoidais e também mostrou uma adição finita de múltiplas frequências de sinusóides, que deram a forma de uma onda triangular pura.

O único problema que tenho em mente é que a derivada de uma onda triangular não é contínua, pois é uma onda quadrada e, portanto, precisaria de soma infinita de sinusóides, portanto, se derivarmos os dois lados da fórmula da série Fourier de uma onda triangular , teríamos uma onda quadrada sendo mostrada como uma soma do número finito de sinusóides. Isso não seria incorreto?

fourier

— Syed Mohammad Asjad
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A onda triangular tem uma série infinita de fourier. Lembre-se de que os tutores são falíveis.

— Autistic

O que o seu instrutor disse quando você perguntou a ele?

— Solar Mike

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@Syed Mohammad Asjad: seu raciocínio com a derivada está correto. Talvez você tenha uma melhor compreensão do assunto do que seu instrutor.

— Coalhada

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De fato, para ter uma série de Fourier finita, a função e TODOS os seus derivados devem ser contínuos. Todos os derivados de um sinusóide são contínuos, e isso também se aplica a qualquer soma finita de sinusóides.

— Dave Tweed

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Não é uma resposta, mas: As séries de Fourier com coeficientes finitos são muito restritivas. A maioria das funções periódicas possui infinitas séries de Fourier. No entanto, quanto mais suave a função, mais rápida é a deterioração dos coeficientes no infinito. Se uma função é k vezes diferenciável com derivada limitada, então seus coeficientes de Fourier (c_n) decaem tão rápido quanto 1 / n ^ (k + 1), como pode ser visto por indução. Para funções analíticas (funções com séries convergentes de Taylor, isto é, ainda mais suave que infinitamente diferenciável), o decaimento é exponencial. O triângulo possui séries de Fourier que são exatamente 1 / n ^ 2.

— Alexandre C.

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uma onda triangular é contínua

Cite a partir daqui : -

A onda triangular não possui saltos descontínuos, mas a inclinação muda descontínua duas vezes por ciclo

Mudar a inclinação descontinuamente também significa uma faixa infinita de componentes sinusoidais.

Por exemplo, se você integra uma onda quadrada no tempo, produz uma onda triangular, mas todas as hamonias da onda quadrada original ainda estão presentes após a integração no tempo: -

— Andy aka
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Estava pensando a mesma representação, graohical ajudou muito, obrigado :)

— Syed Mohammad Asjad

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O instrutor disse que, como a onda triangular é contínua, pode ser representada por um número finito de seno

Você não entendeu direito ou o instrutor falou errado. Não é suficiente que o sinal em si seja contínuo, mas todos os derivados também devem ser contínuos. Se houver descontinuidade em qualquer derivada, o sinal de repetição terá uma série infinita de harmônicos.

Um triângulo é contínuo, mas sua primeira derivada é uma onda quadrada, que não é contínua. Uma onda triangular, portanto, possui uma série infinita de harmônicos.

— Olin Lathrop
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Nope não mis ouvir, nem ele misspoke porque ele disse isso duas vezes e também pediu a classe mais tarde que ele tinha dito, e exatamente o que eu tinha pensado :)

— Syed Mohammad Asjad

@SyedMohammadAsjad, você está certo. Do google; erro de fala: "expressar-se de maneira insuficientemente clara ou precisa". Eu acho que um de vocês está usando "insuficientemente claro" e o outro está usando "insuficientemente preciso".

— uhoh

Embora a redação dessas respostas o sugira, o fato de que todas as derivadas existem (e, portanto, são contínuas, pela existência da próxima derivada), ainda está longe de ser suficiente para ter uma série de Fourier finita. A maioria das séries de Fourier para sinais periódicos, por mais suaves que sejam (classe $ \ mathcal C ^ \ infty $ ou mesmo analítica), possui infinitamente muitos componentes diferentes de zero; é difícil apresentar uma descrição daquelas que não são "somas finitas de senos e cossenos". Tudo o que suavidade implica uma com a qual os coeficientes tendem a 0.

— Marc van Leeuwen

um filtro de tijolo pode fazer o número de harmônicos finito e ainda parece / \ / \ / \ / \ / \ / trinagular com pelo menos 20, longe de infinte

— Tony Stewart Sunnyskyguy EE75

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Prova matemática:

Tome uma função composta da soma ponderada de uma série finita de componentes seno / cosseno.

Sua derivada também é uma soma ponderada de uma série finita de componentes seno / cosseno. Mesmo se você derivar qualquer número de vezes.

Como o seno e o cosseno são contínuos, a função e todos os seus derivados são contínuos.

Assim, uma função com descontinuidade em qualquer um de seus derivados não pode ser construída com uma série finita de componentes seno / cosseno.

— peufeu
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Exatamente o que eu tinha pensado, thankyou :)

— Syed Mohammad Asjad

Deve ser "seno e cosseno são lisas" não apenas contínua - mas a essência está correto, uma soma finita de senos e co-senos é suave, portanto, não pode ter descontinuidades em qualquer um dos seus derivados

— Nimish

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@nimish Ele prova que todos os derivados são somas finitas de (co) senos, portanto, ele só precisa de continuidade do (co) senos, não lisura :-)

— yo'

Sim, senti falta disso. Embora a partir da analiticidade de $ \ exp (z) $ para $ z \ in \ mathbb {C} $, ela segue trivialmente de qualquer maneira.

— Nimish

Parabéns pela resposta matemática que explica a matemática em vez de apenas colá-la!

— uhoh

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Boas respostas abundam aqui, mas isso realmente depende da sua interpretação de "pode ser representada por" .

É preciso entender que uma onda triangular é uma construção matemática teórica que não pode realmente existir na realidade.

Matematicamente falando, para obter uma onda triangular pura, seria necessário um número infinito de ondas senoidais harmônicas, mas para obter uma representação de uma onda triangular, a maioria desses componentes é pequena demais para importar, se perde no ruído de fundo do ou sejam de alta frequência para não serem mais transmissíveis.

Como tal, na prática, você só precisa de um número finito para obter uma representação utilizável. Quão boa você quer que essa representação dite quantos harmônicos você precisa usar.

— Trevor_G
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Essa é realmente uma das coisas a considerar, certamente perguntarei ao meu professor se ele quis dizer que, porque você está certo, na realidade não vamos às frequências infinitas, nem mesmo na onda quadrada (o que não é " t um quadrado puro) :)

— Syed Mohammad Asjad 11/17

Enquanto você está certo de que uma onda triangular é uma construção matemática, seu raciocínio está errado. O fato de você não conseguir fazer muitos harmônicos finitos não fornece uma prova de que você não consegue fazer isso.

— yo

@yo 'de fato, é uma daquelas coisas com as quais acho que muitos de nós têm dificuldade. Se uma onda triangular = número infinito de ondas senoidais em algum momento, você não pode adicionar ou passar os harmônicos. Se é apenas uma onda triangular ... gerada por outros meios ... então o que ... como você a transmite ... e como a coisa que a transmite sabe a diferença ... Me dá dor de cabeça pensando sobre isso .. Basicamente, mesmo que seja apenas um pequeno pedaço de fio ou PCB ... ele não pode sem distorcê-lo.

— Trevor_G

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A diferença entre o ideal matemático e o mundo real, em poucas palavras.

— precisa saber é o seguinte

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Outra abordagem.

Vamos chamar x (t) a onda triangular e (t) sua derivada, que é uma onda quadrada, portanto descontínua.

Se x (t) fosse uma soma finita de sinais sinusoidais, sua derivada, pela linearidade dessa operação, seria uma soma finita de derivadas de sinais sinusoidais, ou seja, novamente uma soma finita de sinais sinusoidais.

Mas este último sinal não pode ser a onda quadrada y (t), porque uma soma finita de sinais sinusoidais é contínua. Portanto, temos uma contradição.

Portanto x (t) deve ter infinitos componentes de Fourier.

— Lorenzo Donati apoia Monica
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Proponho um teste muito mais simples para ser usado na prática. Se a onda tiver cantos afiados, será necessário construir componentes sinusiodais infinitos.

Por quê? Porque uma série finita de sinusíodos não pode fazer uma curva acentuada. Isso é comprovado pela indução da regra de decomposição de somas (ou seja, Σ (a + b) = Σ a + Σ b para todos os somatórios finitos e todos os somatórios infinitos incondicionalmente convergentes).

— Joshua
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O conjunto de funções que são expressáveis por uma série finita de Fourier são:

F : = {f (x) = {uma}_{0 0} + \sum_{n}^{n \in N} ({uma}_{n} porque n x + b_{n} pecado n x)}

$F:=\{f(x)=a_0+\sum_{n}^{n \in N}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})\}$

Para todos os conjuntos finitos de índices N . Termo-a-termo de diferenciação mostra que os derivados é (1) contínuo e (2) também em F . Uma vez que o derivado da onda triangular não é contínua, a função da onda triangular não é em F .

Esta prova é baseado fora de descontinuidade, mas a maioria das funções contínuas também não pertencem a F . Como nenhuma função polinomial ou exponencial pode ser expressa como uma soma finita de senos e cossenos, os únicos membros de F são aqueles escritos explicitamente na forma acima.

— Jared Goguen
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