O que significa "correlação" no processamento de sinal?

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O que as palavras "correlacionadas" e "não correlacionadas" significam no processamento de sinais? Por exemplo - " ruído branco não correlacionado .. "

noise

— Deixe ser
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O que isso geralmente significa:

" correlação . Em estatística, o grau de associação entre duas variáveis aleatórias. A correlação entre os gráficos de dois conjuntos de dados é o grau com o qual eles se assemelham. No entanto, correlação não é a mesma que causalidade e até uma correlação muito próxima pode não ser mais que uma coincidência. Matematicamente, uma correlação é expressa por um coeficiente de correlação que varia de -1 (nunca ocorre juntos), a 0 (absolutamente independente) e 1 (sempre ocorre juntos). "

(da Encyclopedia Brittanica )

Ruído branco não correlacionado significa que não há dois pontos no domínio de tempo do ruído associados um ao outro. Você não pode prever nenhum valor de ruído em nenhum outro momento a partir do nível de ruído no momento . O coeficiente de correlação é 0. Mesmo se você souber o sinal de ruído ao longo de um tempo eterno, exceto por um segundo de picossegundo, todas essas informações não poderão ajudá-lo a preencher o nível desse picossegundo. Isso é zero correlação. $t$

A correlação dentro do próprio sinal é chamada de autocorrelação.

— stevenvh
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A última sentença na citação da Encyclopedia Britannica está incorreta, pois se o coeficiente de correlação tiver o valor , as duas quantidades e são consideradas correlacionadas perfeitamente (positiva ou negativamente). De fato, exatamente com e aumentando com se , e com e diminuindo à medida que aumenta se . Para , com a aproximação melhorando como

r

$r$

\pm 1

$\pm 1$

X

$X$

Y

$Y$

Y = a X + b

$Y = aX+b$

a > 0

$a>0$

Y

$Y$

X

$X$

r = + 1

$r=+1$

a < 0

$a<0$

Y

$Y$

X

$X$

r = - 1

$r=-1$

0 < | r | < 1

$0<|r|<1$

Y \approx a X + b

$Y\approx aX+b$

r

$r$ se aproxima de e a mesma relação .

1

$1$

sgn (a) = sgn (r)

$\text{sgn}(a)=\text{sgn}(r)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate, Da frase "nunca ocorrem juntos" etc., podemos imaginar que o autor da Bretanha escrevia sobre variáveis aleatórias que usam apenas dois valores indicando a ocorrência ou não de algum evento.

— O fóton

@ThePhoton Mesmo restrito a variáveis aleatórias assumindo os valores e indicando apenas não ocorrência e ocorrência, respectivamente, minha interpretação da frase "nunca ocorre juntos" é que enquanto e podem ser diferentes de zero. No entanto, somente se também for igual a . Isto é, quando , e ambos forem diferentes de zero (que não precisa ser igual) e . Equivalentemente, se e somente sempre acontece que

0

$0$

1

$1$

P (1, 1) = 0

$P(1,1)=0$

P (1, 0), P (0, 1)

$P(1,0),P(0,1)$

P (0, 0)

$P(0,0)$

r = - 1

$r=-1$

P (0, 0)

$P(0,0)$

0

$0$

r = - 1

$r=-1$

P (0, 1)

$P(0,1)$

P (1, 0)

$P(1,0)$

P (1, 1) = P (0, 0) = 0

$P(1,1)=P(0,0)=0$

r = - 1

$r=-1$ exatamente uma das duas variáveis aleatórias tem o valor eo outro tem valor

1

$1$

0

$0$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate, OK, agora entendi e concordo que o idioma Britannica não é tão preciso quanto poderia ser.

— O fóton

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O ruído branco não correlacionado é um pleonasmo no sentido de que não existe ruído branco correlacionado. Um deles possui ruído branco que, por definição, possui certas propriedades, incluindo a falta de correlação, ou outro possui ruído correlacionado e, portanto, não pode ser descrito como ruído branco em qualquer sentido da frase.

O modelo matemático do ruído branco em tempo contínuo é uma ficção conveniente que explica o fato fisicamente observado de que o espectro de potência do ruído na saída de um filtro com função de transferência é proporcional a . Se fingirmos que a entrada para o filtro é ruído branco - que possui largura de banda infinita e espectro de potência plano sobre essa largura de banda infinita (e, portanto, potência infinita) - e aplicar a teoria padrão de processos aleatórios, chegamos ao resultado de que o ruído na saída do filtro é de fato proporcional a $H(f)$ $|H(f)|^2$ $|H(f)|^2$ . Portanto, esse ruído mítico de besta infinitamente poderoso e mítico é uma explicação plausível para nossos resultados medidos fisicamente e, portanto, o ruído branco é comumente usado em cálculos teóricos. Uma propriedade adicional do ruído branco é que duas amostras de ruído branco são estatisticamente independentes (e, portanto, não correlacionadas), não importando quão espaçadas elas estejam no tempo. Obviamente, não se pode colher amostras reais de nossa ficção matemática. Na vida real, todas as medições são feitas utilizando instrumentos finita de largura de banda (dizem Hz), e por isso as amostras de ruído que pode medir são os obtidos após alguma filtragem implícita do ruído branco que nos propusemos a amostra. Em particular, amostras de ruído com menos de segundo de intervalo definitivamente $W$ $W^{-1}$ estão correlacionados. Amostras de ruído mais distantes no tempo também são correlacionadas, mas os valores de correlação são pequenos o suficiente para ser razoável tratá-las como desprezíveis e assumir que as amostras são realmente independentes e não correlacionadas. Para mais informações sobre esse ponto de vista, leia o Apêndice A desta nota de aula.

Se um processo de ruído em tempo contínuo for amostrado na taxa de Nyquist e convertido em uma sequência de amostras em tempo discreto, cada amostra poderá ser considerada uma variável aleatória (geralmente Gaussiana com média zero) independente de todas as outras amostras. Assim, um processo de ruído branco em tempo discreto é uma sequência de variáveis aleatórias com média zero, independentes (e portanto não correlacionadas). Se as variáveis aleatórias são gaussianas (como quase sempre é assumido), o processo é chamado de processo de ruído gaussiano branco em tempo discreto. De qualquer forma, não é necessário dizer ruído branco não correlacionado : o ruído branco é sempre não correlacionado.

— Dilip Sarwate
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Quando se diz que 2 sinais estão correlacionados , isso significa que seu coeficiente de correlação é diferente de zero. O coeficiente de correlação é um valor entre -1 e +1, que depende de como os 2 sinais variam juntos. Se eles variam amplamente "independentemente", a correlação é próxima de 0 e os sinais são considerados não correlacionados. Se o coeficiente de correlação for próximo de 1, eles estarão fortemente correlacionados e, se estiver próximo de -1, serão fortemente anti-correlacionados.

A correlação automática de um sinal é uma série que mostra padrões dentro de um sinal. Cada ponto desta série é o coeficiente de correlação do sinal com uma versão atrasada (ou avançada) de si mesma.

Ruído não correlacionado refere-se ao ruído que possui uma função de autocorrelação zero. Portanto, todo ponto no sinal de ruído é "independente" de qualquer outro ponto. Portanto, mesmo se você tiver valores de sinal para grandes épocas, não poderá prever o próximo valor.

A "brancura" de um ruído refere-se à planicidade do seu espectro de potência. É possível que o ruído não correlacionado não seja branco, mas rosa (!) Ou outras cores com base no espectro de potência.

Portanto, o ruído branco não correlacionado é aquele que não é correlacionado e possui um espectro de potência plano. O ruído gaussiano branco é um exemplo de ruído branco não correlacionado.

— dww
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IMO, A correlação automática do ruído branco tende a um impulso, não a uma função uniformemente zero. Corrija isso em sua resposta. Isso ocorre em virtude do Teorema de Wiener-Khinchin, que afirma que a função de autocorrelação de um processo aleatório estacionário de sentido amplo possui uma decomposição espectral dada pelo espectro de potência desse processo.

— Ashutosh Gupta

A pergunta original era sobre correlação com um exemplo de ruído branco não correlacionado. Portanto, a resposta foi simplesmente sobre o que está correlacionado versus não correlacionado e o significado do termo "ruído branco". A correlação automática do ruído branco não foi objeto dessa questão, IMHO.

— dww 8/08/19

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Como Steven explicou, nas estatísticas, 2 eventos são correlacionados se conhecer o resultado de um fornece informações para prever o resultado do outro.

Por exemplo, se você jogar uma moeda duas vezes, as estatísticas dizem que os dois eventos são independentes , e saber que um não afetará a previsão no outro. Mas se você tem um baralho de cartas e escolhe o ás de espadas (sem colocá-lo de volta), sabe que é impossível que nas próximas vezes ele saia novamente. Os eventos são dependentes .

A correlação é um pouco semelhante: se sua esposa começa a ter aulas de costura às 23h duas vezes por semana e ao mesmo tempo seu melhor amigo está em reuniões de negócios , você pode pensar que os dois eventos compartilham algumas propriedades.

Um processo estocástico descreve o comportamento de um evento estocástico ao longo do tempo. Isso significa que você pode ter muitos valores diferentes a qualquer momento e qualquer resultado possível é definido como uma função do tempo. A teoria é complicada, mas pense nela como uma imensa biblioteca de músicas. A qualquer momento, uma música da biblioteca será reproduzida e você poderá gerar infinitas listas de reprodução. (desculpe pelo exemplo coxo)

Neste sistema, você pode ter dois tipos de correlações: no tempo e no estado . A correlação de tempo diz que, sabendo o que é reproduzido em um determinado momento, você pode prever (até certo ponto) o que será reproduzido em alguns segundos. A correlação de estado diz que, pelo mesmo conhecimento (o que está sendo tocado agora), é possível estimar o que mais poderia ter sido tocado ao mesmo tempo (talvez tenha sido definido para tocar rock às 17 horas).

Ruído eletrônico é um termo muito amplo que indica tudo o que se mistura com o seu sinal sem fornecer informações úteis e tornar a parte útil menos clara. Nas comunicações, há muito esforço para obter as informações para o outro lado, e isso implica fazer com que o sinal se destaque no barulho. Isso pode ser feito aumentando a potência do sinal na transmissão, protegendo o meio de comunicação, filtrando ou de outras formas.

Como o ruído pode ser devido a diferentes fenômenos, ele também terá propriedades diferentes. O ruído térmico é devido à vibração dos portadores de carga nos condutores, portanto, você pode esperar que ele dependa da temperatura do mesmo; a interferência acontece quando outro gerador de sinal (pense em um forno de microondas) transmite pelo seu sinal. Neste último caso, se você souber o que o transmissor está fazendo, poderá combater o efeito de uma maneira mais direcionada (por exemplo, um filtro de parada de banda centralizado na frequência exata).

Portanto, conhecer as propriedades estatísticas do sinal e do ruído pode ajudar a separar o primeiro do segundo, quando a análise é necessária.

— clabacchio
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