Você está com a configuração errada: conecte o emissor ao terra e adicione alguns resistores.
A junção base-emissor é como um diodo e a base será 0,7 V mais alta que o emissor. Se você aplicar apenas 5 V, está criando um curto-circuito: não há resistência entre 5 V e 0,7 V. Adicionar um resistor de 2 kΩ limitará a corrente conforme a Lei de Ohm:
Eu=VR=5 V- 0,7 V2 k Ω= 2,15 m A
Então a corrente do coletor será um múltiplo disso. Se isso for 100 vezes (você pode encontrar o valor na folha de dados do BC108 comoH21 E, que é um nome que ninguém usa, todo mundo fala sobreHFE), a corrente do coletor será de 215 mA, 100 vezes a corrente de base.
Mas o seu transistor será inútil: ele sempre terá 12 V no coletor, independentemente da corrente. E vai esquentar: 12 V e 215 mA são 2,58 W !! Demais para o pobrezinho. Portanto, adicione um resistor entre o coletor e os 12 V:
(Aqui também temos um LED, mas podemos fazer apenas com o resistor de 1 kΩ.)
Tivemos uma corrente de coletor de 215 mA, o que causaria uma queda de tensão no resistor de 215 mA ×1 kΩ = 215 V !, de acordo com a Lei de Ohm. Mas isso é impossível, temos apenas 12 V e um 12 V através do resistor causará corrente de 12 mA, não mais do que isso. Portanto, o resistor limita a corrente, mesmo quando o transistor tenta extrair mais.
Se aumentarmos R2 para 100 kΩ, a corrente base será 50 vezes menor, ou 43 μA, e a corrente do coletor seria 100 vezes maior ou 4,3 mA. Então a queda de tensão em R1 será de 4,3 mA× 1 kΩ = 4,3 V. Portanto, o coletor será 4,3 V menor que os 12 V, ou estará em 7,7 V.
Portanto, escolhendo a corrente de base correta, você pode criar uma certa tensão no coletor e, quando a corrente de base estiver muito alta, a tensão do coletor chegará a zero.
Nota
Você pode fazer um circuito como você fez, com uma resistência entre emissor e terra, mas a resistência deve ser muito menor que a do multímetro, que geralmente é de 10 MΩ; um valor de 100 do servirá frequentemente. Mesmo assim, não é um bom circuito aqui, uma vez que a tensão do emissor nunca deve exceder 4,3 V (o emissor de base 5 V - 0,7 V). Você nunca terá 12 V lá, e eu nem posso explicar que você tem uma tensão maior que 4,3 V.
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"Eu estava pensando em multiplexar quatro dos meus monitores colocando um transistor antes de cada ânodo comum e depois conectando todos os 32 catodos de segmento a 8 transistores".
Isso vai funcionar bem. O que eu descrevi é o driver para um segmento. Conecte todos os catodos para os mesmos segmentos dos diferentes monitores juntos e use 8 saídas para acionar os 8 transistores.
Então você precisa de algo para passar de uma exibição para a seguinte.
Essa será a parte do circuito em torno de Q1 e Q2 (Q3 é o driver do segmento). Q1 é um transistor PNP, que fornecerá corrente para os segmentos de 1 display, portanto, você precisará de 4 deles, além das partes circundantes (Q2, R1, R2 e R3). Q1 fornecerá corrente ao coletor se houver uma corrente do emissor (12 V) para a base. Obtemos essa corrente ativando o Q2, um transistor NPN como vimos anteriormente. Portanto, se você elevar o "Display 1", haverá uma corrente de 12 V na base de emissor do Q1 e R2 no coletor do Q2. Você pode usar um BC807 para o primeiro trimestre.
Nota: Eu abandonaria o BC108. É um animal velho, e o Digikey, que vende tudo, nem o lista. Alternativa: BC337; AltoHFE disponíveis, e corrente máxima de 500 mA.