Resistência interna de uma bateria

Estou tentando descobrir onde errei no seguinte problema:

^{simular este circuito - esquemático criado usando o CircuitLab}

As duas baterias são idênticas e cada uma possui uma tensão de circuito aberto de 1,5V. A lâmpada tem uma resistência de 5 quando acesa. Com o interruptor fechado, 2,5V é medido através da lâmpada. Qual é a resistência interna de cada bateria?$\Omega$

(Problema 2.1 em Agarwal e Lang, Fundamentos de circuitos eletrônicos analógicos e digitais ). Observe a resposta impressa na parte de trás do livro: 0,5 .$\Omega$

Aqui está a minha solução:

Passo 1

Use a lei dos elementos para encontrar a corrente, , através da lâmpada. v = i R → i 1 = ${i}_{1}$

$$v=iR \rightarrow {i}_{1} = \frac{v}{{R}_{bulb}}=\frac{2.5V}{5\Omega}=\frac{1}{2}A.$$ Passo 2

Modele a resistência interna de cada bateria como um resistor. Indique a resistência equivalente dos dois resistores em série.

$${R}_{eq}={R}_{1}+{R}_{2}=2{R}_{n}$$ etapa 3

Pela lei de tensão de Kirchoff, a diferença de potencial entre as duas baterias deve ser igual e oposta à diferença de potencial na lâmpada. Combino a lei dos elementos com a expressão acima da seguinte maneira:

$$v={i}_{2}{R}_{eq} \rightarrow {R}_{n}=\frac{1}{2}\frac{v}{{i}_{2}} (eqn. 1)$$ Passo 4

Pela lei atual de Kirchoff, a soma das correntes em qualquer nó é zero.

$${i}_{1}-{i}_{2}=0 \rightarrow {i}_{2}={i}_{1} (eqn.2)$$ Etapa 5

Combine eqns. 1 e 2 para encontrar , a resistência interna de uma única bateria. R n = ${R}_{n}$

$${R}_{n}=\frac{1}{2}\frac{v}{{i}_{1}}=2.5\Omega$$

Conclusão

Depois de refletir sobre a declaração do problema, especialmente a parte da tensão em circuito aberto, sei que estou cometendo alguma falácia lógica. No entanto, eu simplesmente não consigo vê-lo sozinho. Onde é que eu me enganei? Não devo imaginar que a resistência interna das baterias possa ser modelada como um resistor? Uma abordagem de energia / potência seria mais adequada para esse problema?

Acho que seu equívoco acontece na etapa 3:

Pela lei de tensão de Kirchoff, a diferença de potencial entre as duas baterias deve ser igual e oposta à diferença de potencial na lâmpada. Eu combino a lei dos elementos com a expressão acima da seguinte maneira [...]

Isso não é verdade ou, pelo menos, não está escrito com precisão suficiente. Talvez você deva desenhar o circuito completo para facilitar a compreensão:

^{simular este circuito - esquemático criado usando o CircuitLab}

Agora aplique a lei de tensão:

$$V(BAT1) + (-I\times R1) + V(BAT2) + (-I\times R2) + (-I\times R(LAMP1)) = 0$$ $$2 V_{bat} - I\times 5\ \Omega = 2 I\times X$$ $$\frac{V_{bat}}{I} - \frac{1}{2}\times 5\ \Omega = X$$ $$\frac{1,5\ V}{0,5\ A} - \frac{1}{2}\times 5\ \Omega = X$$ $$X = 0.5\ \Omega$$

Omiti a corrente através do medidor de tensão (considerado ideal), portanto, não há necessidade de aplicar a lei atual, pois apenas uma corrente conhecida está fluindo no circuito.

Você tornou muito complicado. A corrente da bateria é de 0,5A, como você disse. Esse 0,5A está causando uma queda de 0,5V na tensão da bateria devido à resistência combinada em série das baterias. Podemos apenas usar a lei de Ohm. Vdrop = Ibatt * Rbatt.

Então, Rbatt = 0,5V / 0,5A = 1 Ohm. Mas essa é a resistência combinada da série. Portanto, cada bateria contribui com 0,5 Ohms ao total.

O erro na análise está na equação 1. A equação correta é,

$V_{Bat1}+V_{Bat2}-i_2R_{eq}=v$

Em uma nota lateral, a resistência interna surge devido à mobilidade do eletrólito, à concentração, à área superficial dos eletrodos e ao comprimento entre os eletrodos. A tensão surge devido aos potenciais redox dos eletrodos e existe a segunda equação para a concentração.