Descarga de potência constante de um capacitor não ideal

Meu empregador vende conversores de impulso para sustentar acionamentos de motores durante a perda de energia. Esses conversores de impulso são alimentados por bancos de capacitores. Para dimensionar esses bancos corretamente, precisamos levar em consideração sua voltagem, capacitância e ESR, para garantir que haja energia disponível suficiente dos capacitores para suportar as unidades por um tempo especificado em uma potência especificada . No momento, fazemos isso com um método de aproximação, mas seria bom ter uma equação mais exata.

Estamos assumindo que ESR, capacitância e carga são constantes.

Eu : atual P : poder R_{C} : ESR C : capacitância t : Tempo V : tensão do capacitor Equação padrão do capacitor: Eu (t) = C V^{'} (t) A saída da tampa é igual à energia na ESR mais a energia na carga: V (t) Eu (t) = P + R_{C} {Eu}^{2} (t) Substituto: C V (t) V^{'} (t) = P + R_{C} C^{2} (V^{'} (t))^{2}

$I \text{: current}\\ P \text{: power}\\ R_{C} \text{: ESR}\\ C \text{: capacitance}\\ t \text{: time}\\ V \text{: capacitor voltage}\\ \text{Standard capacitor equation:}\\I(t)=CV'(t)\\ \text{Power out of the cap equals power into the ESR plus power into the load:}\\ V(t)I(t) = P + R_{C}I^{2}(t)\\ \text{Substitute:}\\ CV(t)V'(t) = P + R_{C}C^{2}(V'(t))^{2}\\$

Se estou certo, isso me dá uma equação diferencial não linear, que me leva muito além da minha zona de conforto matemático. Se eu entendi corretamente, resolver uma nova equação diferencial não linear se qualificaria como uma contribuição significativa para o campo do conhecimento matemático. Dado isso, é improvável que eu resolva isso sozinho.

Alguém conhece alguma boa abordagem para resolver V (t)? Alguém sabe se esta equação já foi resolvida? Estou possivelmente entendendo mal o problema? Ou devo mover isso para o Math Stack Exchange?

— Stephen Collings
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Quão preciso você precisa ser? A quantidade de energia perdida para a ESR varia de maneira não linear com a tensão de alimentação, mas pode-se calcular facilmente os limites superior e inferior para a quantidade de energia que pode ser colhida da tampa quando ela cai de uma voltagem para outra voltagem mais baixa; quanto menor a queda em questão, mais próximos serão os limites. Portanto, se a tampa começar em 50 volts, é possível calcular os limites superior e inferior para quanta energia seria recuperada, uma vez que cai de 50 para 40 volts. Se a diferença entre os limites superior e inferior for muito grande, poder-se-ia calcular a energia ... #

— 308

... à medida que cai de 50 para 45 e depois de 45 para 40. Se a diferença ainda for grande com esses tamanhos de etapa, subdivide-se ainda mais. Se todos os parâmetros fossem conhecidos com precisão, provavelmente não seria necessário subdividir muito para obter limites superiores e inferiores dentro de 20% ou mais um do outro. Dada alguma imprecisão nos parâmetros, provavelmente não seria útil ir muito além disso.

— Supercat 16/08

Realmente, suponho que temos três perguntas. Isso é solucionável? Se sim, como? Caso contrário, qual é a próxima melhor abordagem? Estamos procurando uma solução exata para a equação, mas se não houver, o que você descreve pode ser um bom plano de backup.

— Stephen Collings

Você pode tentar modelar seu circuito como um capacitor ideal, resistor ESR e impedância de carga, tudo em série. Resolvendo as tensões nodais e o fluxo de corrente (que devem ser linearmente independentes), é possível encontrar perdas de ESR versus consumo de energia da carga. O único obstáculo seria estimar Z_L, embora eu ache que você possa descobrir isso calculando novamente a partir de qual classificação de potência e queda de tensão aceitável você espera que seu projeto tenha.

— helloworld922

@Remiel: É comum modelar capacitores do mundo real como uma combinação de capacitores, resistores e indutores ideais, e esse modelo estará mais próximo da realidade do que aquele que simplesmente esperava que um limite real se comportasse como o ideal, mas o " limite não ideal ideal "ainda é apenas uma aproximação. No mundo real, ESR e capacitância podem variar com a tensão de maneiras não lineares estranhas. Uma equação que descreve precisamente o comportamento de um modelo pode não ser mais precisa do que uma simulação em tempo discreto na previsão do comportamento real de um circuito real.

— Supercat 16/08

As equações foram resolvidas por outros aqui . A menos que eu tenha perdido um sinal em algum lugar, esta fórmula fornece o tempo necessário para que um limite atinja a voltagem interna V, começando pela voltagem $V_{0}$ , com um determinado ESR e capacitância e uma descarga de energia fixa.

t (V) = \frac{C}{4 P} (V_{0 0}^{2} - V^{2} + V_{0 0} \sqrt{V_{0 0}^{2} - 4 P R_{C}} - V \sqrt{V^{2} - 4 P R_{C}}) + C R_{C} (em (V + \sqrt{V^{2} - 4 P R_{C}}) - em (V_{0 0} + \sqrt{V_{0 0}^{2} - 4 P R_{C}}))

$t(V) = \frac{C}{4P} (V_{0}^2-V^2 + V_{0}\sqrt{V_{0}^2-4PR_C} - V\sqrt{V^2-4PR_C}) + CR_C(\ln\big(V+\sqrt{V^2-4PR_C}\big) - \ln\big(V_{0}+\sqrt{V_{0}^2-4PR_C}\big))$

Observe que, como V é a tensão interna descarregada da tampa, "atrás" da ESR, para encontrar o tempo necessário para que a tampa atinja uma tensão terminal específica enquanto carregada , devemos usar a substituição:

V = V_{m Eu n} + \frac{P R_{C}}{V_{m Eu n}}

$V=V_{min}+\frac{PR_{C}}{V_{min}}$ Onde

V_{m i n}

$V_{min}$ é a tensão terminal mínima desejável.

Esses cálculos parecem combinar muito bem com nossos métodos de estimativa numérica.

— Stephen Collings
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