Eu acredito que é possível construir um modelo físico simples com as idéias que você forneceu.

Em um circuito CC simples, sob uma tensão constante V e resistência ôhmica R, é possível usar a equação de potência:

P=Vi=V2R$$P=Vi=\frac{{V}^{2}}{R}$$

Se supusermos que o sistema é constituído por um fio com comprimento constante L e área de seção transversal A, a resistência R pode ser:

R=ρLA,whereρ=resistivity$$R=\rho \frac{L}{A},\phantom{\rule{mediummathspace}{0ex}}where\phantom{\rule{mediummathspace}{0ex}}\phantom{\rule{mediummathspace}{0ex}}\rho =resistivity$$

Para pequenas oscilações T de temperatura, a resistividade pode ser aproximada para:

ρ=ρ0(1+α(T−T0))=ρ0(1+αΔT)$$\rho ={\rho}_{0}(1+\alpha (T-{T}_{0}))={\rho}_{0}(1+\alpha \mathrm{\Delta}T)$$

E como existe apenas aquecimento de material sólido, a energia recebida pelo fio é:
Finalmente, todo esse conjunto se torna:
mcΔ ˙ T =V2A

P=dQdt=ddt(mcT)=mcT˙=mcΔT˙,whereΔT˙=dΔTdt=dTdt$$P=\frac{dQ}{dt}=\frac{d}{dt}(mcT)=mc\dot{T}=mc\mathrm{\Delta}\dot{T},\phantom{\rule{mediummathspace}{0ex}}where\phantom{\rule{mediummathspace}{0ex}}\phantom{\rule{mediummathspace}{0ex}}\mathrm{\Delta}\dot{T}=\frac{d\mathrm{\Delta}T}{dt}=\frac{dT}{dt}$$

Não sei como resolver isso analiticamente, mas há uma aproximação válida, pois estou trabalhando com pequenas flutuações de temperatura:

1mcΔT˙=V2Aρ0L11+αΔT⇒mcρ0LV2AΔT˙=11+αΔT$$mc\mathrm{\Delta}\dot{T}=\frac{{V}^{2}A}{{\rho}_{0}L}\frac{1}{1+\alpha \mathrm{\Delta}T}\Rightarrow \frac{mc{\rho}_{0}L}{{V}^{2}A}\mathrm{\Delta}\dot{T}=\frac{1}{1+\alpha \mathrm{\Delta}T}$$

Agora, podemos resolvê-lo:

mcρ11+αΔT≈1−αΔT$$\frac{1}{1+\alpha \mathrm{\Delta}T}\approx 1-\alpha \mathrm{\Delta}T$$

mcρ0LV2AΔT˙+αΔT−1=0$$\frac{mc{\rho}_{0}L}{{V}^{2}A}\mathrm{\Delta}\dot{T}+\alpha \mathrm{\Delta}T-1=0$$

ΔT=Ce−t/τ+1α,whereτ=mcLρ0αAV2andC=cte$$\mathrm{\Delta}T=C{e}^{-t/\tau}+\frac{1}{\alpha}\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}},\phantom{\rule{mediummathspace}{0ex}}where\phantom{\rule{mediummathspace}{0ex}}\tau =\frac{mcL{\rho}_{0}}{\alpha A{V}^{2}}\phantom{\rule{mediummathspace}{0ex}}\phantom{\rule{mediummathspace}{0ex}}and\phantom{\rule{mediummathspace}{0ex}}\phantom{\rule{mediummathspace}{0ex}}C=cte$$

In this model, we see a transient solution followed by a constant one. But remember this is valid just for small temperature fluctuations.