Qual é a taxa "Nyquist" para amostragem da derivada de um sinal?

Antecedentes: estou amostrando a corrente através de um capacitor. O sinal de interesse é a tensão no capacitor. Integrarei digitalmente a medição de corrente para obter a tensão.

Pergunta: Dado que a voltagem no capacitor é limitada em largura de banda e estou amostrando a derivada dessa voltagem, qual é a taxa de amostragem mínima necessária para reconstruir perfeitamente o sinal de voltagem das amostras atuais?

Se não houver resposta enlatada para essa pergunta, qualquer coisa que possa me indicar a direção certa seria útil. Obrigado desde já por qualquer ajuda!!

Adotar uma derivada (ou uma integral) é uma operação linear - ela não cria nenhuma frequência que não estava no sinal original (nem remove nenhum), apenas altera seus níveis relativos.

Portanto, a taxa de Nyquist para a derivada é a mesma do sinal original.

Tomar a derivada multiplica a transformação por s, que efetivamente gira o gráfico de magnitude no sentido anti-horário. Assim, podem muito bem ser componentes de frequência mais alta na derivada. Uma maneira mais sucinta de dizer isso é que a derivação amplifica o conteúdo de alta frequência.

$\frac{1}{s+1}$

 bode(tf(1, [ 1 1 ])) 

$\frac{s}{s+1}$

bode(tf([1 0], [ 1 1 ])) 

A derivada neste caso claramente possui componentes de frequência mais alta. Talvez mais corretamente, ele possui componentes de alta frequência muito maiores que o não derivado. Pode-se optar por amostrar o primeiro sinal a 200 rads / s com alguma confiança, pois a energia é muito pequena na taxa nyquist, mas o aliasing seria substancial se você amostrasse a derivada na mesma taxa.

Assim, depende da natureza do sinal. A derivada de um sinusóide será uma sinusóide da mesma frequência, mas a derivada do ruído limitado da banda terá componentes de frequência mais altos que o ruído.

Edição: Em resposta ao voto negativo, eu vou martelar esta casa com um exemplo concreto. Deixe-me pegar uma onda senoidal e acrescentar algum ruído normal aleatório (um décimo da magnitude da onda senoidal)

O fft deste sinal é:

Agora, deixe-me tomar a derivada do sinal:

e o fft do derivado

A subamostragem, é claro, alias o sinal ou a derivada. Os efeitos da subamostragem serão modestos para o sinal e o resultado da subamostragem da derivada será absolutamente inútil.

Você não pode.

A integração mostrará apenas como a tensão muda durante o tempo de amostragem.

O capacitor sempre começará com alguma carga presente, portanto haverá alguma tensão inicial. Seu cálculo não pode conhecer essa tensão, portanto, não pode saber a tensão real no capacitor durante o tempo de medição. Isso deve ser familiar nas aulas de matemática - você sempre integra entre dois pontos.

Você também tem um problema que, embora suas amostras de medição atuais sejam limitadas por Nyquist, a corrente real através do capacitor pode não ser. A menos que você possa garantir que a corrente através do capacitor tenha um filtro passa-baixo rígido em algum lugar abaixo do limite de Nyquist, você nunca poderá medir a corrente com precisão suficiente para reproduzir a tensão. Preciso deixar claro que isso é realmente matematicamente impossível, porque exigiria uma taxa de amostragem infinita.

Mas se você conhece a tensão de partida e se a corrente real através do capacitor é adequadamente filtrada com passa-baixa, DaveTweed está certo de que o limite de Nyquist para a integral é o mesmo que para os dados amostrados.