Venho estudando o livro Ogata Modern Control Engineering e trabalhando em vários exercícios para melhorar minha compreensão dos princípios básicos de controle. Me deparei com o exemplo a seguir, que estou tentando resolver.

Preciso criar a função de transferência que modela esse gabarito de vibração. As perguntas são as seguintes:

Neste exemplo, você analisará uma plataforma de teste de vibração (Fig. 1). Este sistema consiste em uma tabela de massa M e uma bobina cuja massa é m. Um ímã permanente rigidamente fixado ao solo fornece um campo magnético constante. O movimento da bobina, 𝑦, através do campo magnético induz uma tensão na bobina que é proporcional à sua velocidade, 𝑦̇, como na Eq. 1. 𝑒 = 𝛼𝑦̇ [eq.1]

A passagem de corrente através da bobina faz com que experimente uma força magnética proporcional à corrente, como na Eq. 2. 𝐹 = 𝛽𝑖 [eq.2]

Pergunta: Obtenha uma função de transferência paramétrica com a saída 𝑥 para entrada 𝑉.

Algumas perguntas que estou achando difícil de responder, mas afetam todo o TF são:

Se K2 e B2 são comprimidos por uma distância Z (quando se move para cima
devido à interação da bobina com o campo magnético), isso significa que k1 e b1 são estendidos pela mesma distância Z?
Se m(bobina) se move para cima 2 cm, a M(mesa) também se move para cima 2 cm?

O que eu preciso fazer:

Crie dois diagramas de corpo livre separados, um para a massa M da mesa e outro para a massa m da bobina.
Esboce um diagrama de circuito, incluindo a fem reversa.
Transforme em domínio s.
Resolva simultaneamente.

O que eu fiz até agora:

Desenhe para separar diagramas de corpo livre e extrair equações.
Desenhe o diagrama do circuito e extraia a equação.
Converta para domínio s.

Usando a função MATLAB solve, consegui obter 2 funções diferentes de transferência de 5ª ordem (uma para cada método que proponho abaixo), no entanto, não tenho certeza de qual está correta e por quê.

Sistema Geral :

Esta é uma representação esquemática de como acho que o gabarito de teste de vibração pode ser modelado, excluindo a parte elétrica.

Diagrama do corpo livre 1 - Tabela - Convenção ascendente

Molas k1e k2amortecedores b1e b2são modelados separadamente . Como eles não podem ser adicionados e vistos como um só, sua compactação e extensão são separadas.

A força ascendente é proveniente k2e b2está ligada à bobina. Estes estão experimentando um movimento ascendente.

Equação no domínio s:

Ms^2X + b1sX + k1X = b2s(X-Y) + k2(X-Y)

Livre Corpo Diagrama 2 - Coil - Convenção Upward

A bobina está sofrendo uma força para cima, no entanto, a mola e o amortecedor estão retendo-a, agindo assim na direção oposta.

Equação no domínio s:

Fem = Ms^2Y + b2s(X-Y) + k2(X-Y)

Os dois métodos diferentes são mostrados acima para o FBD da tabela levam a diferentes equações no domínio s e a diferentes funções de transferência.

Qual é o diagrama de corpo livre correto para a mesa e a bobina?

— rrz0
fonte

Boa pergunta, mas por favor, poste uma foto onde os detalhes sejam claros sem nos forçar a clicar nela para ampliá-la. Por exemplo, esses sinais negativos são quase imperceptíveis. Além disso, a equação no canto inferior esquerdo foi parcialmente cortada. Há muito espaço livre a ser usado em sua planilha para aumentar as coisas. Existem muitos programas gratuitos de edição de imagens na Internet (por exemplo, IrfanView ou FastSstone ImageViewer), para que você também possa tirar várias fotos de suas folhas e cortar / cortar as peças necessárias para publicar boas fotos.

— Lorenzo Donati - Codidact.org 27/10

@LorenzoDonati, obrigado pela sugestão, será editado imediatamente. Em relação à equação no canto inferior esquerdo, isso não interessa, pois minha preocupação é o diagrama de corpo livre. Se isso estiver correto, a equação estará correta. No entanto, tentarei editar adequadamente. Obrigado pelo seu feedback!

— rrz0

Tente não fazer suposições sobre o que você fez de errado. A publicação de um conjunto de equações bem elaboradas seguindo sua linha de pensamento mostrará seus esforços (e, portanto, melhorará sua pergunta - dando mais chances de resposta) e também poderá apontar possíveis erros. Qualquer informação relevante sobre o seu problema em questão pode ser útil para o candidato a responder.

— Lorenzo Donati - Codidact.org 27/10

Por outro lado, se você se sentir confortável com a sintaxe do LaTeX, o editor de perguntas poderá entender a "notação em dólar" das fórmulas do LaTeX (consulte a ajuda on-line).

— Lorenzo Donati - Codidact.org 27/10

Obrigado @LorenzoDonati, estou tentando apresentar a pergunta de uma maneira mais estruturada e legível.

— rrz0

Introdução

M e m têm apenas um grau de liberdade; ambos podem se mover apenas na vertical. A força magnética atua diretamente sobre o ímã m, não sobre a massa M.

$90^o$ $b_1$ $b_2$

Mesa vibratória eletromagneticamente excitada

Agora está claro que esta é uma conexão em série de massas com elementos dinâmicos entre elas; portanto, começamos a escrever as equações de movimento da direita para a esquerda, começando com a equação elétrica de m primeiro, que conterá V, ye F.
Depois disso, escreveremos a equação motional para me para M.
Como M não é afetado por uma força magnética, essa última equação nos dará y em função de x, que será usado na primeira equação para relacionar x a V.

Elétrico

e = α \dot{y}, F = β i, V - e = R i + L \dot{i}

$e=\alpha \dot y \, , \, F=\beta i \, , \, V- e=Ri+L \dot i$

V - e = V - α \dot{y} = R i + L \dot{i} = \frac{R}{β} F + \frac{L}{β} \dot{F}

$V-e = V - \alpha \dot y = R i + L \dot i = \frac{R}{\beta}F+\frac{L}{\beta}\dot F$

$y$ $F$ $V$

O ímã

F + m \ddot{y} + b_{2} (\dot{y} - \dot{x}) + k_{2} (y - x) = 0

$F+m \ddot y + b_2 \left(\dot y - \dot x \right) +k_2 \left(y-x \right) =0$

V - α \dot{y} = V (s) - α s y = (R + L s) i = (R + L s) F / β

$V-\alpha \dot y = V(s)-\alpha s y = \left(R+Ls\right) i = \left(R+Ls\right)F/\beta$

F = \frac{β}{R + L s} (V (s) - α s y)

$F=\frac{\beta}{R+Ls}\left(V(s)-\alpha s y\right)$

\frac{β V (s)}{R + L s} - \frac{α β}{R + L s} s y + m \ddot{y} + k_{2} (y - x) + b_{2} (\dot{y} - \dot{x}) = 0

$\frac{\beta V(s)}{R+Ls}-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}sy+m\ddot y +k_2\left(y-x\right) + b_2\left(\dot y-\dot x\right)=0$

\frac{β V (s)}{R + L s} - \frac{α β}{R + L s} s y + m s^{2} y + k_{2} (y - x) + b_{2} s (y - x) = 0

$\frac{\beta V(s)}{R+Ls}-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}sy+ms^2 y +k_2\left(y-x\right) + b_2s\left( y- x\right)= 0$

m s^{2} y + (b_{2} - \frac{α β}{R + L s}) s y + k_{2} y - b_{2} s x - k_{2} x = - \frac{β V (s)}{R + L s}

$ms^2y+\left(b_2-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}\right)sy +k_2y -b_2sx - k_2x =-\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$

x

$x$

y

$y$

(m s^{2} + b_{2} s - \frac{α β s}{R + L s} + k_{2}) y - (b_{2} s + k_{2}) x = - \frac{β V (s)}{R + L s}

$\left(ms^2+b_2s-\frac{\alpha \beta s}{R+Ls}+k_2\right)y-\left(b_2s+k_2\right)x = -\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$

A mesa móvel

M \ddot{x} + k_{1} x + b_{1} \dot{x} + k_{2} (x - y) + b_{2} (\dot{x} - \dot{y}) = 0

$M\ddot x +k_1x+b_1\dot x +k_2\left(x-y\right)+b_2\left(\dot x-\dot y\right)=0$

M s^{2} x + k_{1} x + b_{1} s x + k_{2} (x - y) + b_{2} s (x - y) = 0

$Ms^2 x +k_1x+b_1s x +k_2\left(x-y\right)+b_2s\left( x- y\right)=0$

- b_{2} s y - k_{2} y + M s^{2} x + (b_{1} + b_{2}) s x + (k_{1} + k_{2}) x = 0

$-b_2sy -k_2y +Ms^2x +\left(b_1+b_2\right)sx +\left(k_1+k_2\right)x =0$

x

$x$

y

$y$

- (b_{2} s + k_{2}) y + {M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + k_{1} + k_{2}} x = 0

$- \left( b_2s+k_2 \right) y + \lbrace Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2 \rbrace x = 0$

y = \frac{M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + k_{1} + k_{2}}{b_{2} s + k_{2}} x

$y = \frac{Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2}{b_2s+k_2}x$

Conjunto

$y=f(x)$ $x$ $y$ $V$

[(m s^{2} + b_{2} s - \frac{α β s}{R + L s} + k_{2}) \frac{M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + k_{1} + k_{2}}{b_{2} s + k_{2}} - (b_{2} s + k_{2})] x = - \frac{β V (s)}{R + L s}

$\left[ \left(ms^2+b_2s-\frac{\alpha \beta s}{R+Ls}+k_2\right) \frac{Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2}{b_2s+k_2} - \left( b_2s+k_2 \right) \right] x = -\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$

$R+Ls$

[{(R + L s) (m s^{2} + b s + k_{2}) - α β s} \frac{M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + (k_{1} + k_{2})}{b_{2} s + k_{2}} - (R + L s) (b_{2} s + k_{2})] x = - β V (s)

$\left[ \lbrace (R+Ls) \left( ms^2+bs+k_2 \right) - \alpha\beta s \rbrace \frac{Ms^2+(b_1+b_2)s+(k_1+k_2)}{b_2s+k_2}-(R+Ls)(b_2s+k_2)\right]x = -\beta V(s)$

$b_2s+k_2$

[{(R + L s) (m s^{2} + b s + k_{2}) - α β s} {M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + (k_{1} + k_{2})} - (R + L s) (b_{2} s + k_{2})^{2}] x = - (b_{2} s + k_{2}) β V (s)

$\left[ \lbrace (R+Ls) \left( ms^2+bs+k_2 \right) - \alpha\beta s \rbrace \lbrace Ms^2+(b_1+b_2)s+(k_1+k_2)\rbrace - (R+Ls)(b_2s+k_2)^2 \right]x = - (b_2s+k_2) \beta V(s)$

$x(s)/V(s)$

— joe electro
fonte

Comentários não são para discussão prolongada; esta conversa foi movida para o bate-papo .

— Dave Tweed

Encontrar a função de transferência do sistema de amortecedor de massa de mola

Sistema Geral :

Diagrama do corpo livre 1 - Tabela - Convenção ascendente

Livre Corpo Diagrama 2 - Coil - Convenção Upward

Introdução

Elétrico

O ímã

A mesa móvel

Conjunto