Existe onda quadrada?

Se enviarmos uma forma de onda quadrada através de uma antena, obteremos ondas eletromagnéticas quadradas com campos elétricos e magnéticos parecidos com quadrados? Além disso, como há um salto abrupto / quase de amplitude, obteremos ondas senoidais de frequência muito alta, como previsto pela transformada de Fourier?

— user163416
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Uma onda quadrada perfeita (0 tempos de subida / descida) não existe porque exigiria largura de banda infinita.

— Peter Smith

antenas têm largura de banda finita

— analogsystemsrf 17/04/19

Largura de banda infinita e impedância zero

— JonRB 17/04/19

Se o campo elétrico é uma onda quadrada próxima do ideal, o campo magnético não será mais como uma série de picos positivos e negativos?

— user253751

Respostas:

Como você sabe (desde que você mencionou a transformação de Fourier), uma onda quadrada pode ser representada (bem, quase - veja abaixo) como a soma de uma série infinita de ondas senoidais. Mas não seria possível enviar uma verdadeira onda quadrada através de qualquer antena física real: à medida que você se move ao longo da série infinita, as frequências aumentam cada vez mais e, eventualmente, você alcança frequências que sua antena não pode transmitir, por vários motivos. . Se você olhar para um gráfico do espectro eletromagnético, verá que as ondas de rádio acima de uma certa frequência são chamadas de "luz", e sua antena provavelmente não pode alcançar essas frequências, por melhor que seja.

(Mas, de fato, se você tiver uma antena capaz de transmitir sobre uma ampla largura de banda - ou seja, de frequências muito baixas a muito altas - e enviar alguma aproximação de uma onda quadrada sobre ela, verá uma alta aparecem, exatamente como previsto pela transformação de Fourier.)

Há também outro problema: você não pode realmente se aproximar de uma verdadeira forma de onda quadrada a partir de qualquer soma finita de ondas senoidais, não importa quantas. Esse problema é muito mais teórico e dificilmente surgirá na prática, mas é chamado de fenômeno de Gibbs . Acontece que, não importa a frequência da sua frequência, sua aproximação de uma onda quadrada sempre ultrapassará os grandes saltos, de baixo para alto e alto para baixo. O overshoot ficará cada vez mais curto com o tempo, melhor será a sua aproximação (quanto maior a frequência). Mas nunca diminuirá em magnitude; converge para cerca de 9% do tamanho do salto.

— Glenn Willen
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Você deveria dizer que não pode realmente fazer uma onda quadrada verdadeira a partir de uma soma finita de ondas senoidais. De uma soma infinita, você pode. Se você atingir o limite, a superação desaparecerá como você pode ver com um argumento epsilon-delta.

— DerManu

A série de Fourier para uma onda quadrada converge para uma onda quadrada, mas não converge uniformemente para uma onda quadrada, porque se você usar muitos termos (digamos, um trilhão) de termos finitos da série, ele ainda ultrapassará em cerca de 9% . (Na verdade, nenhuma série de funções contínuas converge uniformemente para uma onda quadrada, uma vez que uma onda quadrada não é contínua. Ainda assim, a série de Fourier é particularmente problemática; existem outras séries que não ultrapassam esse padrão.)

— Tanner Swett,

A soma converge ponto a ponto para a onda quadrada em todos os lugares, exceto nas transições em que converge para a média dos limites esquerdo e direito. A superação nunca desaparece, pois a convergência não é uniforme.

— copper.hat

@ copper.hat: Lembro-me de ler que o próprio Foorier estava bastante infeliz com o fato de que a amplitude do overshoot não se aproximava assintoticamente de zero à medida que o número de termos aumentava. A fração do domínio para o qual a função não está dentro de um epsilon específico do valor correto, no entanto, se aproxima de zero à medida que o número de termos aumenta.

— supercat

Tecnicamente, qualquer antena emite luz se você conseguir o bastante quente

— Nate S.

Não, as ondas quadradas matemáticas perfeitas não existem no mundo real porque a onda quadrada não é uma função contínua (ela não tem uma derivada na etapa). Portanto, você só pode aproximar uma onda quadrada e a aproximação tem frequências muito altas e, em algum momento, a antena não seria capaz de enviá-las, portanto seria um filtro passa-baixo.

— Apenas eu
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Funções contínuas também não existem no mundo real, devido a efeitos quânticos.

— supercat

Além disso, a lógica de que "ele não tem uma derivada na etapa" não significa que a função não é contínua. Não diferenciável não implica não contínuo. Dito isto, a função não é contínua, pois os limites de um lado na etapa não concordam.

— Sean Haight

Em um caso mais geral, comparado às respostas acima, nada pode ser interrompido ou iniciado no tempo zero, ou seja, instantaneamente. Fazer isso implicaria um componente de frequência infinitamente alta que se traduziria em energia infinita. Os fatores de restrição são a limitação da velocidade da luz do Princípio da Relatividade Especial e da Incerteza da Mecânica Quântica.

Quanto mais nítida for a transição, mais energia você precisará injetar no sistema

— Dirk Bruere
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