Modelando matematicamente o circuito RC com uma entrada linear

Encontrei muitos documentos e livros que modelam como a tensão através de um capacitor se comporta dentro de um circuito RC transitório, usando a seguinte equação:

$$V_C=V_{MAX}(1-e^{-t/RC})$$

Infelizmente, não encontrei nenhum recurso que discuta como modelar matematicamente um circuito RC, para fornecer uma fonte de tensão que aumenta linearmente como entrada.

Tentar substituir VMAX na equação acima, por uma equação linear, resulta em uma equação que converge para a equação linear, o que significa que a corrente cessaria após um tempo (I = (VS-VC) / R). Isto é obviamente falso, já que deveríamos ver a abordagem atual um valor constante com o tempo, conforme indicado por:

$$I_C=C\frac{dV}{dt}$$

Estou perfeitamente ciente de como a tensão através de um capacitor se comportaria com uma fonte de tensão que aumenta linearmente; existem muitos simuladores que mostram isso e posso até pensar em uma explicação física para os resultados. O que eu gostaria de saber é como se pode modelar matematicamente a tensão através de um capacitor com uma fonte de tensão que aumenta linearmente, de maneira semelhante à equação que modela a tensão através de um capacitor em transientes.

Infelizmente, não encontrei nenhum recurso que discuta como modelar matematicamente um circuito RC, para fornecer uma fonte de tensão que aumenta linearmente como entrada.

Esta resposta é sobre converter o circuito para uma função de transferência no domínio da frequência e, em seguida, multiplicar esse TF com a transformada Laplace da entrada para obter o equivalente no domínio da frequência da saída. Finalmente, uma operação de Laplace reversa é executada para obter a fórmula do domínio do tempo para a saída.

A transformação de Laplace de um filtro RC passa-baixo é: -

$$\dfrac{1}{1+sRC}$$

Essa é a função de transferência do domínio da frequência, portanto, se você a multiplicar pelo equivalente no domínio da frequência de uma rampa ($\dfrac{1}{s^2}$) você obtém a saída do domínio de frequência: -

$$\dfrac{1}{s^2(1+sRC)}$$

Usando uma tabela de transferência reversa, você tem uma saída no domínio do tempo de: -

$$t + RC\cdot e^{(\frac{-t}{RC})}-RC$$

Veja o item 32 da tabela ou, se a fórmula não tiver uma entrada óbvia na tabela, você pode usar uma calculadora de laplace inversa que a resolva numericamente como esta .

A calculadora permite criar a fórmula e inserir um valor numérico para RC. Eu usei um valor de RC 7 no exemplo acima para que eu pudesse ver como esse número se propagava para a resposta final. O último obstáculo é substituir esse valor propagado de 7 por RC. Em outras palavras, é um solucionador numérico, mas, no entanto, é uma ferramenta muito útil para ter em mãos:

Para um sinal de entrada geral e um sistema de primeira ordem, você pode resolver a equação diferencial por meio do fator de integração, $\small (IF)$, método * ou a transformada de Laplace, entre outros. A análise abaixo usa o$\small IF$ método.

$^*$Veja editar abaixo para obter uma explicação do método do fator de integração .

Dado o circuito que você descreve, a equação do loop é:

$v_i=v_R+v_C$

$v_i=iR+\frac{1}{C}\int i\:dt$

Diferenciando:

$\large \frac{dv_i}{dt}\small = R\large \frac{di}{dt}+\frac{i}{C}$

Reorganizando:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{RC}= \frac{1}{R}\large \frac{dv_i}{dt}$

Notar que $\small \tau=RC$:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{\tau}= \frac{1}{R}\large \frac{dv_i}{dt}$

No seu caso particular, $v_i$ é uma rampa, assim: $v_i= \small Kt$, Onde $\small K$ é a inclinação da rampa.

Conseqüentemente $\large \frac{dv_i}{dt} = \small K$e a equação a ser resolvida pelo $\small IF$ método é:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{\tau}= \frac{K}{R}$

o $\small IF$ é:

$\small IF=\large e^{\int \frac{1}{\tau}dt}=e^{\frac{t}{\tau}}$

Portanto:

$i\:e^{\frac{t}{\tau}} =\int \frac{K}{R}e^{\frac{t}{\tau}}dt +A$

$i\:e^{\frac{t}{\tau}} =\small KC\: \large e^{\frac{t}{\tau}} +\small A$

$i =\small KC\: +\small A \large \large e^{-\frac{t}{\tau}}$

Assuming initial conditions are zero, $\small A=-KC$, hence:

$i =\small KC\:(1-\large e^{-\frac{t}{\tau}})$

and

$v_c =\small K\:(t-\tau + \tau e^{-\frac{t}{\tau}})$

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Edit: Solving 1st order ordinary differential equations (ODE) by the Integrating Factor ($\small IF$) method:

For the ODE:

$\frac{dy}{dt}\small +Py=Q$, where $\small P$ and $\small Q$ are functions of $\small t$ (which may be constants), we follow the steps:

1. Determine the integrating factor: $\small IF= \large e\small ^ {\int P\:dt}$

2. The general solution is then found by solving: $\small y. IF=\large \int \small Q.IF\: dt + A$, where $\small A$ is an arbitrary constant.

3. Determine $\small A$ from the initial condition or a boundary condition, if known.

For example, the ODE: $\frac{dy}{dt}+2y=3$, with $\small y(0)=5$

Solution: we identify $\small P=2,\:Q=3$

Therefore

$\small IF= e^ {\int 2\:dt} = e^{2t}$

Hence

$\small y\: e^{2t}=\large \int \small 3\:e^{2t}\: dt + A$

$\small y\: e^{2t}= \frac{3}{2}\:e^{2t}\: + A$

Dividing through by $\small e^{2t}$

$\small y= 1.5 + Ae^{-2t}$

Applying the initial condition:

$\small y(0)=5= 1.5 + A$; hence $\small A=3.5$

Giving: $y= 1.5 + 3.5e^{-2t}$

May as well add another approach based upon Chu's recommendation:

The standard form for a first order linear differential equation is:

$$\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t} + P_x\cdot y = Q_x$$

If you can set things up like that, then your integrating factor (which is a nifty way to solve these) is:

$$\mu=e^{\int P_x\; \textrm{d}x}$$

Then then the solution is:

$$y=\frac{1}{\mu}\int \mu\cdot Q_x\;\; \textrm{d}x$$

Suppose the following circuit:

^{simulate this circuit – Schematic created using CircuitLab}

Then from nodal, you get:

$$\begin{align*}\frac{V\left(t\right)}{R}+\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}C&=\frac{V_s\left(t\right)}{R}\\\\\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}+\frac{1}{R\,C}V\left(t\right)&=\frac{V_s\left(t\right)}{R\,C}\end{align*}$$

Which is in standard form, now.

So, $P_t=\frac{1}{R\,C}$ and $Q_t=\frac{1}{R\,C}\cdot V_s\left(t\right)$. Thus, the integrating factor is: $\mu=e^{^\frac{t}{R\,C}}$ and:

$$\begin{align*}V\left(t\right)&=e^{^\frac{-t}{R\,C}}\int e^{^\frac{t}{R\,C}}\frac{1}{R\,C}\cdot V_s\left(t\right)\:\text{d} t\\\\&=\frac{1}{R\,C}\cdot e^{^\frac{-t}{R\,C}}\int V_s\left(t\right)\,e^{^\frac{t}{R\,C}}\:\text{d} t\end{align*}$$

You should be able to readily perform the above given a sufficiently simple $V_s\left(t\right)$. (Don't forget your constant of integration.)

what you wrote as Vmax can be changed for your voltage that changes over time as long as it is not too much faster than the time constant of the capacitor it should give you a decent model.

If you want a more precise answer, you can Fourier/Laplace transform your input voltage and calculate the reactance for the capacitor at every frequency that you get, solve each and add them together which will give you the final voltage.

The second option that gives a much more accurate solution is quite more complex that the simple first thing I suggested, which can only give an accurate solution if the voltage rises much more slowly than the charging of the capacitor.

edit: as some of the comments mentioned it is also possible to solve the differential equation for a ramp instead of a step.