"Dada uma entrada de 15V e saídas desejadas de 10V, 5V e 0V, como calcularia a resistência necessária para usar?"
Tensão através do resistor de interesse = ( Resistor de interesse )( Resistor de interesse + Resistor não de interesse )∗ Vi n p u t
Quando houver vários nós, como no exemplo que você deu, basta simplificá-lo no divisor básico do resistor e encontrar a primeira tensão. Como alternativa, se recebermos tensões, podemos reorganizar esta equação para resolver o resistor de interesse em termos do resistor não de interesse.
Resistor de interesse = 1( Vi n p u t÷ Tensão através do resistor de interesse ) - 1∗ Resistor sem interesse
Para simplificar, no seu exemplo para o nó de 10V, o resistor de interesse é a combinação de R2 e R3, deixando o resistor não de interesse como R1. Depois de encontrar sua proporção entre (R2 + R3) e R1, você pode seguir em frente para encontrar a proporção para R2 e R3. Nesse caso, você pode apenas olhar para os dois como outro divisor e a tensão de entrada é a tensão do primeiro nó que você acabou de usar como tensão de saída. Seguindo esse método, você encontrará que R1 é um terço (R2 + R3) e que R2 é o mesmo que R3. Faz sentido que, com um fluxo de corrente igual, uma queda idêntica em cada meio do resistor e uma resistência idêntica, seguindo a lei de Ohm V = IR.
"É possível criar um divisor de tensão que não tenha quedas proporcionais (por exemplo, digamos que desse mesmo circuito, eu queira 14V, 12V, 5V e 0V)?"
Este será o mesmo processo de antes, mas basta conectar tensões diferentes. Para o primeiro nó:
(R2 + R3) = ( 1( 14 V÷ 12 V) - 1) ∗ R1 = 6 ∗ R 1
Portanto, a combinação de R2 e R3 é seis vezes maior que apenas R1. Para o segundo nó:
(R2) = ( 1( 12 V÷ 5 V) - 1) ∗ R3 = 0,71 ∗ R 3
Finalmente, e esta é a parte mais difícil para a maioria dos alunos, basta escolher um valor de resistor. Esta é a parte de engenharia da engenharia elétrica, você precisa tomar uma decisão. Este não é muito difícil, pois a maior parte das resistências maiores são melhores. Resistências maiores reduzirão o fluxo de corrente enquanto fornecem as tensões necessárias.
Existem várias outras considerações ao usar um divisor de tensão na prática. Eles são ótimos para tensões de referência básicas ou para derrubar proporcionalmente uma tensão de sinal em uma única direção. Por exemplo, um sinal de 5V sendo reduzido para 3,3V para um microcontrolador funciona bem porque um divisor de tensão atua como um coeficiente de atenuação do sinal, tudo é reduzido na mesma quantidade.
Se você está provando tensão para um dispositivo de algum tipo, às vezes é possível modelar esse consumo de corrente como uma resistência, assumindo que seja sempre constante (R = V / I). Esse resistor de dispositivo, ou carga, geralmente é o resistor de interesse ou paralelo ao resistor de interesse. No entanto, eu não recomendaria isso a qualquer momento, pois a tensão do nó mudará dependendo do consumo atual da carga.
"E como essa matemática funciona?"
Veja as equações acima.