Estabilidade condicional

Estou aprendendo sobre amplificadores operacionais e feedback e como o feedback afeta sua estabilidade. Eu tenho lido sobre ganho e margem de fase e seus usos quando me deparei com isso :

Não entendo bem como o sistema mostrado na imagem será estável, pois em cerca de 2 kHz, o feedback será positivo; Eu pensaria que isso faria com que uma frequência de 2 kHz se tornasse cada vez maior e não convergisse.

Por que esse sistema será estável?

É exatamente por isso que acho que as pessoas deveriam estudar a estabilidade primeiro usando gráficos de Nyquist, ENTÃO usando gráficos bode e os diagramas de ganho e margem de fase associados.

As margens de ganho / fase são apenas uma maneira conveniente de determinar o quão perto o sistema fica de ter pólos no lado direito do plano complexo, em termos de quão perto o gráfico de nyquist chega a -1, porque após a fração parcial expandir esses termos, os pólos positivos terminam como exponenciais do tempo com coeficiente positivo, o que significa que vai para o infinito, o que significa que é instável.

No entanto, eles só funcionam quando o gráfico nyquist é "de aparência normal". Pode ser que ele faça algo assim:

Por isso, viola a regra da margem de fase, mas a função de transferência de malha aberta G (s) H (s) não circunda -1, então 1 + G (s) H (s) não tem zeros no lado direito, o que significa que o loop fechado não tem pólos no lado direito, portanto, ainda é estável.

A palavra condicional vem do fato de que o ganho tem limites superior / inferior para mantê-lo dessa maneira, e cruzá-los torna o sistema instável (porque muda a curva o suficiente para alterar o número de vezes que -1 é cercado).

Estabilidade condicional em uma resposta de loop aberto.

Primeiro, como é de Ridley, você pode apostar que essa é uma resposta em loop aberto de um conversor de energia. Esta resposta será estável para o ganho mostrado para pequenas perturbações do loop linear. Se a perturbação do loop se tornar grande o suficiente para conduzir os amplificadores para a operação não linear, o loop provavelmente se tornará oscilatório porque a operação da região não linear terá um ganho menor do amplificador.

O problema com loops como esse é que, embora eles sejam estáveis, é comum os sistemas obterem ganhos que variam amplamente com a tensão de entrada, carga ou temperatura, ou uma combinação de todos eles. Se você usar um loop condicionalmente estável, deverá verificar se nenhuma dessas dependências será um fator durante qualquer modo de operação (incluindo condições de inicialização). Uma vez que esses tipos de loops começam a oscilar, eles tendem a aderir (a oscilação reduz o ganho para fazê-lo).

Observe que o loop, como mostrado, é compensado adequadamente com 2 zeros para cobrir os 2 pólos. O problema é que os pólos provavelmente são de um filtro LC (pólos complexos) no loop. Haverá um indutor de baixa perda e um banco de capacitores de baixa perda que serão combinados para fornecer uma resposta Q alta. Como Q é alto, toda a contribuição da fase do LC ocorrerá em uma faixa muito pequena de frequência; do gráfico, parece uma oitava com 180 graus de perda de fase. Os zeros compensatórios Opamp serão simples e, portanto, o aumento de fase ocorrerá em um intervalo de frequência de duas décadas (no mínimo). Portanto, mesmo que haja um aumento de fase adequado para cobrir a perda de fase de LC, haverá uma queda de fase e nenhuma margem de fase negativa ou no meio, perto dos pólos.

Possíveis soluções para esse tipo de resposta de loop:

• Os zeros compensatórios podem ser divididos para que um chegue antes dos polos (coloque os polos entre parênteses), adicionando algum chute de fase mais cedo. Isso pode resultar em mais margem de fase na queda de fase, mas pode não ser suficiente.

• A melhor ação é geralmente reduzir o Q do filtro LC.

Desconstrução de loop:

Para mostrar como esse tipo de resposta de loop aberto pode ocorrer, o loop pode ser desconstruído usando um modelo simples.

Realmente não sei o circuito que deu a resposta que o OP postou, mas suspeito, com base na aparência da resposta de um regulador de impulso de modo de condução contínuo. Um modelo básico incluiria um filtro LC, PowerModulator e amplificador de erro. Um semi-esquemático de uma versão de loop aberto da AC é:

O circuito geralmente reflete o comportamento de um loop de reforço do CCM, embora os detalhes aqui sejam escolhidos para serem razoáveis ​​e obter a correspondência mais conveniente para o loop postado ... com a menor quantidade de trabalho. Esta é apenas uma ferramenta para ajudar a separar todas as partes do loop e mostrar como elas iriam juntas para formar o loop total.

Vamos começar com o resultado desse modelo, o loop completo:

Não é tão ruim ... parece muito perto do original. Você pode ver que o caráter básico do loop é um integrador com um distúrbio ressonante de LC a 1000Hz. Nas frequências abaixo dos pólos LC, o ganho do loop diminui a -20dB por década, e nas frequências acima dos pólos LC retoma um declínio de -20dB por década. Portanto, como existe um rolo de 1 polo (-20dB /), algo conseguiu gerenciar esses 2 polos LC cobrindo-os com zeros. Existem artefatos adicionais que aparecem acima de ~ 20kHz; Zero ESR no filtro LC, zero no plano direito (rhpz) e frequência de Nyquist; que será mencionado brevemente.

Resposta do filtro LC:

$C_o$

Modulador de potência com filtro LC:

O modulador de energia foi adicionado ao filtro LC aqui. O modulador de potência tem ganho de 30dB, o meio plano direito zero a 70kHz e um polo para a frequência Nyquist a 100kHz (sim, eu sei que adicionar um polo não é o caminho certo para lidar com Nyquist, mas será necessário fazer isso ) Exceto por ter 30dB de ganho, o gráfico de ganho é o mesmo que apenas o LC. Mas e essa fase? É o rhpz que exibe a fase como um pólo de lhp, mas ganha como um zero de lhp. É principalmente por isso que a fase de malha aberta nunca se recupera tanto quanto você pensaria após a ressonância de LC.

Amplificador de erro:

Aqui você pode ver a resposta do amplificador com seu polo integrador de baixa frequência, seguido por 2 zeros a cerca de 1kHz e 7kHz, um polo a 42kHz para achatar o último zero antes de atingir o limite de largura de banda de ganho do amplificador.

O opamp tinha uma largura de banda de 20MHz com ganho de 140dB e um polo de baixa frequência de 2Hz. O ganho do integrador é definido por R1 e C1. O primeiro zero é definido por C1 e R3. O segundo zero é definido por C2 e R1. O poste de nivelamento é definido por C2 e R2.

Primeiro um pouco de esclarecimento. O que você plota é o ganho de loop L (s), que corresponderia a G (s) H (s) no diagrama a seguir:

A função de transferência completa (também chamada de ganho de malha fechada ) neste caso é:

A transformação inversa terá exponenciais crescentes (o que significa que é um sistema instável) sempre que essa função tiver polos no lado direito (RHS) do plano s. É o mesmo que descobrir se existem zeros no RHS do plano s de 1 + L (s). Então, basicamente, a instabilidade é determinada pelo ganho do loop, não há necessidade de calcular o ganho do loop fechado mais complexo. Então, quando se fala de estabilidade, as plotagens quase sempre têm ganho de loop L (s).

Voltar à sua pergunta:

Quanto à afirmação de que o sistema é instável quando o ganho é maior que 0dB com a fase invertida (-180), deixe-me responder com um contra-exemplo fácil de ver. Considere o muito simples:

^{simular este circuito - esquemático criado usando o CircuitLab}

De acordo com o critério excessivamente assumido que diz:

se o ganho do loop for positivo a -180 °, o sistema será instável.

Então se | K | > 1 então deve ser instável.

No entanto, não é. A saída é:

Estábulo.

Por outro lado, se K = -1, então temos um problema (ele se torna instável).

O exemplo acima foi apenas uma constante, mas, em geral, saber que o ganho é> 0dB em -180 não implica que o sistema seja instável . Se o seu livro diz isso, está errado (mas parecerá correto para muitos casos típicos).

Se você começar a imaginar que o sistema acima tem um pequeno atraso e que o sinal E não teve tempo de responder e tem o valor errado e depois ver como ele se propaga iterativamente pelo loop, você concluirá que o sinal aumentará sem limite. E com isso, você cairá em uma armadilha mental difícil de superar, que é o que eu acho que é o equívoco subjacente que não permite aceitar conceitualmente que o sistema em sua pergunta pode ser estável.

A plotagem de bode é apenas uma fatia do Nyquist, e o critério de estabilidade do bode é aplicável apenas quando a plotagem de Nyquist é típica, mas Bode é apenas uma conveniência (é mais fácil plotar do que Nyquist).

As plotagens Nyquist e sua versão simplificada das plotagens Bode são apenas métodos gráficos para principalmente:

1. Descubra se o sistema possui pólos RHS, que se tornam exponenciais crescentes.
2. Obtenha informações sobre até que ponto o sistema está estável / instável e o que pode ser feito sobre ele.

Também apenas para esclarecer, não há inundações que minimizem frequências instáveis. Uma explicação simples é considerar que a resposta total é a superposição das respostas de todas as frequências; portanto, simplesmente não há como corrigi-la, da mesma maneira que você não pode cancelar um sinusoidal de uma certa frequência com qualquer número de sinusoidais de diferentes frequências.

Mas, novamente, pensar em termos de frequências que tornam o sistema instável também é incorreto. Essa instabilidade não é a mesma que ter uma frequência infinitamente ressonante, como em um sistema de 2ª ordem não amortecido. Esse é um sistema oscilatório, mas a instabilidade de que estamos falando é crescer sem limites com qualquer entrada (exceto zero).

Uma maneira simples de provar isso é perceber que um sistema instável terá pólos no RHS do plano s e que:

Portanto, não há como cancelar um polo na função de transferência que o multiplica. A saída ainda aumentará sem limites.

A resposta oscilatória só entra em jogo se a fase estiver ruim no cruzamento zero do ganho. Esse loop é condicionalmente estável porque, se algum fator reduzir o ganho (fazendo com que ele atravesse mais cedo), ele poderá atravessar a área de 2 kHz em que a fase é perigosa e criar a resposta oscilatória.

Para tornar esse loop incondicionalmente estável, teria que haver algum aumento de fase para mover a seção de 2kHz para fora da zona de perigo ou o ganho teria que passar por uma frequência muito menor (na área antes da falha da fase).