Relação e diferença entre transformadas de Fourier, Laplace e Z

Fiquei um pouco confuso sobre esses tópicos. Todos começaram a parecer iguais para mim. Eles parecem ter as mesmas propriedades, como linearidade, deslocamento e escala associados a eles. Não consigo colocá-los separadamente e identificar o objetivo de cada transformação. Além disso, qual deles é usado para análise de frequência?

Não consegui encontrar (com o Google) uma resposta completa que resolva esse problema específico. Desejo vê-los comparados na mesma página para que eu possa ter alguma clareza.

As transformadas de Laplace e Fourier são transformadas contínuas (integrais) de funções contínuas.

A transformação de Laplace mapeia uma função para uma função F ( s ) da variável complexa s , onde s = σ + j ω .$f(t)$$F(s)$$s = \sigma + j\omega$

Como a derivada mapeia parasF(s), a transformada de Laplace de uma equação diferencial linear é uma equação algébrica. Assim, a transformada de Laplace é útil para, entre outras coisas, resolver equações diferenciais lineares.$\dot f(t) = \frac{df(t)}{dt}$$sF(s)$

Se definirmos a parte real da variável complexa s como zero, , o resultado será a transformada de Fourier F ( j ω ), que é essencialmente a representação no domínio da frequência de f ( t ) (observe que isso é verdade apenas se for para esse valor de σ a fórmula para obter a transformada de Laplace de f ( t ) existe, ou seja, não vai para o infinito).$\sigma = 0$$F(j\omega)$$f(t)$$\sigma$$f(t)$

$f[n]$$F(z)$$z = re^{j\Omega}$

$r = 1$$F(j\Omega)$$f[n]$

As transformadas de Laplace podem ser consideradas um superconjunto para CTFT. Você vê, em um ROC, se as raízes da função de transferência estiverem no eixo imaginário, ou seja, para s = σ + jω, σ = 0, como mencionado em comentários anteriores, o problema das transformadas de Laplace é reduzido à Transformação contínua de Fourier no tempo. Para retroceder um pouco, seria bom saber por que as transformações de Laplace evoluíram em primeiro lugar quando tivemos as transformadas de Fourier. Veja bem, a convergência da função (sinal) é uma condição obrigatória para a existência de uma Transformada de Fourier (absolutamente agregável), mas também existem sinais no mundo físico em que não é possível ter esses sinais convergentes. Mas, uma vez que é necessário analisá-los, nós os fazemos convergir, multiplicando um e exponencial monotonamente decrescente e ^ σ para ele, o que os faz convergir por sua própria natureza. Esse novo σ + jω recebe um novo nome 's', que freqüentemente substituímos como 'jω' pela resposta dos sinais sinusoidais dos sistemas causais de LTI. No plano s, se o ROC de uma transformada de Laplace cobre o eixo imaginário, sua transformação de Fourier sempre existirá, pois o sinal convergirá. São esses sinais no eixo imaginário que compreendem sinais periódicos e ^ jω = cos ωt + j sin ωt (de Euler).

Da mesma forma, a transformação z é uma extensão do DTFT para, primeiro, fazê-los convergir, em segundo lugar, para facilitar nossas vidas. É fácil lidar com az do que com ae ^ jω (definindo r, raio do círculo ROC como desatualizado).

Além disso, é mais provável que você use uma Transformada de Fourier do que Laplace para sinais não causais, porque as transformações de Laplace tornam a vida muito mais fácil quando usadas como transformadas unilaterais (unilaterais). Você também pode usá-los nos dois lados, o resultado será o mesmo com algumas variações matemáticas.

As transformadas de Fourier são para converter / representar uma função que varia no tempo no domínio da frequência.

Uma transformação laplace é para converter / representar uma função que varia no tempo no "domínio integral"

As transformações Z são muito semelhantes às da laplace, mas são conversões discretas de intervalo de tempo, mais próximas para implementações digitais.

Todos eles parecem iguais, porque os métodos usados ​​para converter são muito semelhantes.

Tentarei explicar a diferença entre a transformação de Laplace e Fourier com um exemplo baseado em circuitos elétricos. Portanto, suponha que tenhamos um sistema descrito com uma equação diferencial conhecida, digamos, por exemplo, que tenhamos um circuito RLC comum. Suponha também que um interruptor comum seja usado para LIGAR ou DESLIGAR o circuito. Agora, se queremos estudar o circuito no estado estacionário sinusoidal, temos que usar a transformada de Fourier. Caso contrário, se nossa análise incluir a chave LIGADA ou DESLIGADA do circuito, temos que implementar a transformação de Laplace para as equações diferenciais.

Em outras palavras, a transformação de Laplace é usada para estudar a evolução transitória da resposta do sistema desde o estado inicial até o estado estacionário sinusóide final. Inclui não apenas o fenômeno transitório do estado inicial do sistema, mas também o estado estacionário sinusóide final.

Diferentes ferramentas para diferentes trabalhos. No final do século XVI, os astrônomos estavam começando a fazer cálculos desagradáveis. Os logaritmos foram primeiro calculados para transformar a multiplicação e a divisão em adição e subtração mais fáceis. Da mesma forma, as transformações de Laplace e Z transformam equações diferenciais desagradáveis ​​em equações algébricas que você tem a chance de resolver. As séries de Fourier foram originalmente inventadas para resolver o fluxo de calor em tijolos e outras equações diferenciais parciais. A aplicação a cordas vibratórias, tubos de órgãos e análises de séries temporais veio mais tarde.

Em qualquer sistema LTI para calcular a função de transferência, usamos apenas transformada laplace em vez de transformada de fourier ou z porque em fourier obtemos a saída limitada; ela não vai para o infinito. A transformação z é usada para sinais discretos, mas os sistemas LTI são sinais contínuos, portanto não podemos usar a transformação z. Portanto, usando a transformação laplace, podemos calcular a função de transferência de qualquer sistema LTI.