Amplificação e -3dB

Eu tenho esses dois circuitos: insira a descrição da imagem aqui

Com um OPAMP 'normal' (sem capacitores), eu sei como calcular o fator de amplificação do circuito ( $A=\dfrac{U_{uit}}{U_{in}}$ ) Mas como faço com esses dois capacitores? Mas também como faço para calcular onde está o ponto -3 dB de ambos os circuitos?

operational-amplifier amplifier

— SjonTeflon
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Se você remover o opamp por um momento, será possível calcular o ponto -3dB se fosse apenas para C1 / R1? Você conhece a fórmula para A apenas para R1 / C1? E se você olhar para a entrada não inversora do opamp, que impedância de entrada você espera?

— jippie

assim a impedância do condensador é 1/jwc(onde w é omega)

— SjonTeflon

E eu acho que no primeiro circuito é algo comoR1/((1/jwc)+R1)

— SjonTeflon

Meus números complexos estão um pouco enferrujados, mas isso me parece correto.

— jippie

O condensador em inglês é um capacitor BTW.

— jippie

Respostas:

O opamp em ambos os circuitos é apenas um seguidor de tensão com um ganho de 1, portanto é irrelevante para o propósito de calcular o ganho.

O circuito esquerdo é um filtro simples de passa-alta RC e o circuito direito um simples filtro passa-baixa de RC. O ganho de cada um deles é de 1 poço na banda passante. Bem na faixa de parada, o ganho diminuirá 6 dB / oitava ou 20 dB / década de frequência.

O ponto de rolagem de qualquer tipo de filtro é quando a magnitude da impedância do capacitor é igual à resistência. A equação para a frequência é:

F = 1 / (2 π RC)

Quando R está em Ohms e C em Farads, F está em Hertz. No seu caso, você tem 100 nF e 3,3 kΩ, portanto a frequência de retirada de cada filtro é de cerca de 480 Hz. Nessa frequência, o filtro será atenuado por um fator da raiz quadrada de 2 ou terá um ganho de -3 dB. O ganho do filtro em função da frequência varia suavemente, mas depois de uma oitava ou duas em qualquer direção, aproxima-se 20 dB / década da frequência de rolloff de um lado e ganho de unidade do outro.

O filtro esquerdo é um passe alto, portanto, para frequências acima de 480 Hz, ele se aproxima do ganho de unidade à medida que a frequência aumenta. Após cerca de 1 kHz, o ganho será próximo o suficiente para 1 para a maioria dos propósitos, certamente para qualquer aplicativo de áudio normal. Bem abaixo de 480 Hz, ele assintoticamente se aproximará da atenuação pela razão de 480 Hz para a frequência real. Por exemplo, a 100 Hz, atenuará cerca de 4,8 vezes ou o ganho será próximo de -14 dB.

O filtro passa-baixo à direita funciona da mesma maneira que a freqüência invertida em torno do valor de rolloff de 480 Hz. A 100 Hz, seu ganho será quase 1 e, a 3 kHz, atenuará perto de 3 kHz / 480 Hz = 6,25 vezes, para um ganho de -16 dB.

— Olin Lathrop
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Mas também como faço para calcular onde está o ponto -3 dB de ambos os circuitos?

Em geral, você encontrará a magnitude da função de transferência, configurada como igual a $\dfrac{1}{\sqrt{2}}^*$ e resolva a frequência.

Para um filtro simples de 1ª ordem, isso é quase trivial. No segundo circuito, a tensão na entrada inversora do amplificador operacional é:

\begin{matrix} (1) & V_{+} = V_{i n} \frac{1}{1 + j ω R C} \end{matrix}

$V_+ = V_{in}\dfrac{1}{1 + j \omega RC} \tag{1}$

Multiplique pelo conjugado para encontrar a magnitude ao quadrado :

\begin{matrix} (2) & | \frac{V_{+}}{V_{i n}} |^{2} = \frac{1}{1 + j ω R C} \frac{1}{1 - j ω R C} = \frac{1}{1 + (ω R C)^{2}} \end{matrix}

$|\dfrac{V_+}{V_{in}}|^2 = \dfrac{1}{1 + j \omega RC}\dfrac{1}{1 - j \omega RC} = \dfrac{1}{1 + (\omega RC)^2} \tag{2}$

Pegue a raiz quadrada para encontrar a magnitude:

\begin{matrix} (3) & | \frac{V_{+}}{V_{i n}} | = \frac{1}{\sqrt{1 + (ω R C)^{2}}} \end{matrix}

$|\dfrac{V_+}{V_{in}}| = \dfrac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} \tag{3}$

Agora, é fácil ver que isso é igual a $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ quando $\omega = \dfrac{1}{RC} \tag{4}$

$^*20\log(\frac{1}{\sqrt{2}}) \approx -3dB$

— Alfred Centauri
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Uau, maneira de fazer uma coisa simples quase impenetrável! Mas, +1 porque está correto e completo.

— Olin Lathrop

@OlinLathrop Impenetrable? Essa é a matemática mais básica que qualquer estudante de engenharia do segundo ano lida nas aulas de análise de circuitos. É sempre bom saber a matemática por trás das coisas.

— krb686

@OlinLathrop se ½√2 nesta resposta estiver correta, estou interpretando mal a sua? "Nessa frequência, o filtro será atenuado por um fator de 2"

— jippie

Minha matemática complexa está um pouco enferrujada, não entendo como você vai de (1) a (2). Eu recebo o

| \frac{V_{+}}{V_{i n}} |^{2}

$|\dfrac{V_+}{V_{in}}|^2$ , mas não entendo por que o direito pode ser multiplicado por 1 / (1-jωRC). Eu esperaria que tivesse que ser 1 / (1 + jωRC). É simples de explicar, ajudar um pouco a minha memória fraca? É claro que entendo por que você deseja o + em vez do -, mas por que é permitido?

— jippie

@jippie, a magnitude de um número complexo ou função complexa

Z

$Z$ é

| Z | = \sqrt{Z Z^{*}}

$|Z| = \sqrt{ZZ^*}$ Onde

Z^{*}

$Z^*$ é o conjugado complexo de

Z

$Z$ . E se

Z = a + j b

$Z = a + jb$ , então

Z^{*} = a - j b

$Z^* = a - jb$ . Então

Z Z^{*} = (a + j b) (a - j b) = a^{2} + b^{2}

$ZZ^* = (a + jb)(a - jb) = a^2 + b^2$ o que é real.

— Alfred Centauri