Pense em um sistema mecânico simples, como uma barra elástica ou um bloco preso a uma mola contra a gravidade, no mundo real. Sempre que você pressionar o sistema (para o bloco ou para a barra), eles iniciarão uma oscilação e logo pararão de se mover.
Existem maneiras de analisar um sistema como este. As duas maneiras mais comuns são:
Solução completa = solução homogênea + solução específica
Resposta completa = Resposta natural (entrada zero) + resposta forçada (estado zero)
Como o sistema é o mesmo, ambos devem resultar na mesma equação final representando o mesmo comportamento. Mas você pode separá-los para entender melhor o que cada parte significa fisicamente (especialmente o segundo método).
No primeiro método, você pensa mais do ponto de vista de um sistema de LTI ou de uma equação matemática (equação diferencial), onde é possível encontrar sua solução homogênea e, em seguida, sua solução específica. A solução homogênea pode ser vista como uma resposta transitória do seu sistema a essa entrada (mais suas condições iniciais) e a solução específica pode ser vista como o estado permanente do seu sistema após / com essa entrada.
O segundo método é mais intuitivo: resposta natural significa qual é a resposta do sistema à sua condição inicial. E a resposta forçada é a resposta do sistema a essa entrada, mas sem condições iniciais. Pensando no exemplo de barra ou bloco que eu dei, você pode imaginar que em algum momento você empurrou a barra com as mãos e a segurou lá. Este pode ser o seu estado inicial. Se você simplesmente deixar passar, oscilará e depois parará. Esta é a resposta natural do seu sistema a essa condição.
Além disso, você pode deixá-lo ir embora, mas continua dando energia extra ao sistema, pressionando-o repetidamente. O sistema terá sua resposta natural como antes, mas também mostrará um comportamento extra devido aos seus hits extras. Quando você encontra a resposta completa do seu sistema pelo segundo método, pode ver claramente qual é o comportamento natural do sistema devido a essas condições iniciais e qual é a resposta do sistema se ele tiver apenas a entrada (sem condições iniciais). Os dois juntos representarão todo o comportamento do sistema.
E observe que a resposta do estado zero (resposta forçada) também pode consistir em uma porção "natural" e uma porção "particular". Isso ocorre porque mesmo sem condições iniciais, se você fornecer uma entrada para o sistema, ele terá uma resposta transitória + resposta permanente do estado.
Resposta de exemplo: imagine que sua equação represente o seguinte circuito:
Qual sua saída y (t) é a corrente do circuito. E imagine que sua fonte é uma fonte DC de + 48v. Dessa forma, fazendo a soma da tensão do elemento neste caminho fechado, você obtém:
ϵ=VL+VR
Podemos reescrever a tensão do indutor e a tensão do resistor em termos de corrente:
ϵ=Ldidt+Ri
Se tivermos uma fonte de energia de + 48VDC e L = 10H e R = 24Ohms, então:
48=10didt+24i
qual é exatamente a equação que você usou. Portanto, sua entrada no sistema (circuito RL) é apenas sua fonte de alimentação de + 48v. Portanto, sua entrada = 48.
As condições iniciais que você tem são y (0) = 5 e y '(0) = 0. Fisicamente, isso representa que, no momento = 0, minha corrente do circuito é 5A, mas não está variando. Você pode pensar que algo aconteceu anteriormente no circuito que deixou uma corrente no indutor de 5A. Portanto, naquele momento dado (momento inicial), o peitoril ainda possui aqueles 5A (y (0) = 5), mas não está aumentando ou diminuindo (y '(0) = 0).
Resolvendo:
Aest
ϵ=0
10sAest+24Aest=0
Aest(10s+24)=0
s=−2,4
Assim,
EuZEu( t ) = A e- 2 , 4 t
Como sabemos que i (0) = 5:
i ( 0 ) = 5 = A e- 2 , 4 . 0 0
A = 5
EuZEu( t ) = 5 e- 2 , 4 t
t = + ∞
Agora podemos encontrar a solução específica para a equação que representará o estado permanente devido à presença da fonte de alimentação (entrada):
i ( t ) = cc
Assim,
dEudt= 0
então,
48 = 0,10 + 24 c
c = 2
i ( ∞ ) = 2
o que também faz sentido porque temos uma fonte de alimentação CC. Portanto, após a resposta transitória de ligar a fonte de alimentação CC, o indutor se comportará como um fio e teremos um circuito resistivo com R = 24Ohms. Então devemos ter 2A de corrente, já que a fonte de alimentação possui 48V.
Mas observe que, se eu apenas adicionar os dois resultados para encontrar a resposta completa, teremos:
i ( t ) = 2 + 5 e- 2 , 4 t
Agora eu estraguei tudo no estado transitório, porque se eu colocar t = 0, não encontraremos mais i = 5 como antes. E temos que encontrar i = 5 quando t = 0, porque é uma dada condição inicial. Isso ocorre porque a resposta do estado zero tem um termo natural que não existe e também tem o mesmo formato que encontramos anteriormente. Adicionando lá:
i ( t ) = 2 + 5 e- 2 , 4 t+ B es t
A constante de tempo é a mesma, então apenas nos deixou B:
i ( t ) = 2 + 5 e- 2 , 4 t+ B e- 2 , 4 t
E sabemos que:
i ( t ) = 2 + 5 + B = 5
Assim,
B = - 2
Então, sua solução completa é:
i ( t ) = 2 + 5 e- 2 , 4 t- 2 e- 2 , 4 t
você pode pensar neste último termo que consideramos um termo de correção da resposta forçada para corresponder às condições iniciais. Outra maneira de encontrá-lo é imaginar o mesmo sistema, mas não sem condições iniciais. Então, resolvendo tudo de novo, teríamos:
EuZS( t ) = 2 + A e- 2 , 4 t
Mas como agora não estamos considerando as condições iniciais (i (0) = 0), então:
EuZS( t ) = 2 + A e- 2 , 4 t= 0
E quando t = 0:
A = - 2
portanto, a resposta forçada (estado zero) do seu sistema é:
EuZS( t ) = 2 - 2 e- 2 , 4 t
É um pouco confuso, mas agora você pode ver as coisas de diferentes perspectivas.
Soluções homogêneas / particulares:
i ( t ) = ip( t ) + in( t ) = 2 + 3 e- 2 , 4 t
O primeiro termo (2) é a solução específica e representa o estado permanente. O restante do lado direito é a resposta transitória, também chamada solução homogênea da equação. Alguns livros chamam isso de resposta natural e resposta forçada, pois a primeira parte é a parte forçada (devido à fonte de alimentação) e a segunda parte é a parte transitória ou natural (característica do sistema). Esta é a maneira mais rápida de encontrar a resposta completa, eu acho, porque você só precisa encontrar o estado permanente e uma resposta natural uma vez. Mas pode não estar claro o que está representando o que.
-Zero de entrada / estado zero:
i ( t ) = iZS( t ) + iZEu( t ) = 2 - 2 e- 2 , 4 t+ 5 e- 2 , 4 t
2 - 2 e- 2 , 4 t
5 e- 2 , 4 t
Algumas pessoas também chamam esse formato de resposta Natural / Forçada. A parte natural seria entrada zero e a parte forçada seria o estado zero, que por sinal é composto por um termo natural e um termo particular.
Novamente, todos eles fornecerão o mesmo resultado que representa todo o comportamento da situação, incluindo a fonte de energia e as condições iniciais. Observe que, em alguns casos, pode ser útil usar o segundo método. Um bom exemplo é quando você está usando convoluções e pode encontrar a resposta ao impulso do seu sistema com o estado zero. Portanto, quebrar esses termos pode ajudá-lo a ver as coisas com clareza e também a usar um termo adequado para convolver.