Prova matemática de que a tensão RMS multiplicada pela corrente RMS fornece potência média

Eu sei que isso é verdade porque eu li em uma fonte respeitável. Também entendo intuitivamente que a energia é proporcional ao quadrado de tensão ou corrente para uma carga resistiva e que o "S" no RMS é para "quadrado". Estou buscando uma prova matemática difícil.

Deixe denotar a corrente no instante , e da mesma forma denota a tensão naquele instante. Se pudermos medir tensão e corrente em todos os instantes, e houver instantes, a potência aparente significa:$I_i$$i$$V_i$$n$

$$P = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$$

O que é uma prova matemática elegante de que

$$P = I_{RMS} V_{RMS}$$

alcança o mesmo resultado para cargas resistivas?

Lei de Ohm

$$1: V(t) = I(t)R$$

A dissipação instantânea de energia é produto da tensão e da corrente

$$2: P(t) = V(t)I(t)\\ $$

Substitua 1 em 2 para obter energia instantânea através de um resistor em termos de tensão ou corrente:

$$3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\ $$

A potência média é definitivamente a integral da energia instantânea durante um período, dividido por esse período. Substitua 3 para obter potência média em termos de tensão e corrente.

$$4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\ $$

Definição da corrente do RMS Esquadre os dois lados Multiplique por R para encontrar a equação 4 para a potência média Definição da tensão RMS Esquadre os dois lados Divida por R para encontrar a equação 4 para a potência média Multiplique as expressões 7 e 10 para obter potência média Raiz quadrada de ambos os lados

$$5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\ $$ $$6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\ $$ $$7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\ $$ $$8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\ $$ $$9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\ $$ $$10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\ $$ $$11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\ $$ $$12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\ $$ QED

A prova muito simples (no caso de amostragem discreta na pergunta) é pela substituição de E / R por I na equação RMS

$$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$$

e álgebra muito simples.

E sim, isso é verdade porque é especificado que temos uma carga puramente resistiva, para que não haja problema de ângulo de fase nem presente harmônico em I que também não esteja presente em E.

EDITAR

definição de RMS para pontos discretos (da Wikipedia):

$$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$$

então

$$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

e

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$$

e pela Lei de Ohm substituição :

$$I_i = V_i/R$$

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$$

então:

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$$

Retirando o 1 / R ^ 2

$$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

tão:

$$V_{RMS} * I_{RMS}$$ é:

$$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$$

distribuindo o 1 / R:

$$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$$

Usando a substituição da Lei de Ohm novamente:

$$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$$

qual é:

$$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$$

A chave é que, para uma carga resistiva, a tensão e a corrente estão em fase.

Se a tensão e a corrente são ambas , então seu produto é dado pela igualdade . A potência é uma onda senoidal com o dobro da frequência, que oscila cerca de . Essa é a sua média ao longo do tempo (a "média" do "quadrado"). A raiz do quadrado médio é . É aí que conseguimos esse número mágico.$\sin(t)$$\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)$$1/2$$\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$

A tensão ou corrente quadrada média raiz é a tensão e a corrente equivalentes DC que produzirão a mesma dissipação de energia ao longo do tempo . Se a dissipação de energia média for W, essa dissipação de energia poderá ser produzida constantemente por VDC multiplicada por A DC.$1/2$$\sqrt{2}/2$$\sqrt{2}/2$

Se a corrente e a tensão estão fora da fase 90 graus (carga reativa pura), podemos pensar em uma como sendo e a outra sendo . A igualdade aplicável é então . A forma de onda de potência não é mais "tendenciosa" para oscilar em torno de ; sua média é zero: a energia flui para dentro e para fora da carga em meios ciclos alternados, conforme a forma de onda da energia oscila positiva e negativa.$\cos(t)$$\sin(t)$$\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)$$1/2$

Portanto, para responder à pergunta, a tensão e a corrente RMS são definidas com base na potência média: cada uma é derivada da raiz quadrada da potência média. Multiplicando dois valores juntos que são obtidos a partir da raiz quadrada da potência média, recupera a potência média.

Vamos simplificar mais esse problema sem matemática. Tome este circuito simples que produz uma forma de onda quadrada com um período de 10 segundos.

A tensão é assim

e atual é

Então a forma de onda de energia será

Quando o interruptor está aberto, nenhuma energia é fornecida ao resistor, de modo que a energia total é de 10 watts X 5 segundos = 50 Joules, e é a mesma coisa que aplicamos 5 watts em 10 segundos

e este é o poder médio. A tensão média é de 5 volts e a corrente média é de 0,5 ampere. Fazendo cálculos simples, a potência média resulta em 2,5 Watt ou 25 Joules, o que não é verdade.

Então, vamos fazer esse truque COM ESTA ORDEM:

1. Primeiro quadrado da tensão (e corrente)

2. Segundo, pegue a média do quadrado

3. Então pegue a raiz quadrada da média

O quadrado da forma de onda da tensão será

E a média é 50V ^ 2 (não 50 ^ 2 volts). A partir deste ponto, esqueça a forma de onda. Somente valores. A raiz quadrada do valor acima é 7.071… volt RMS. Fazendo o mesmo com a corrente, será encontrado 0,7071..A RMS e a potência média será 7.071V x 0,7071A = 5 Watt

Se você tentar fazer o mesmo com a energia RMS, o resultado será um 7.071Watt sem sentido.

Portanto, a única potência de aquecimento equivalente é a potência média e a única maneira de calcular é usar os valores rms de tensão e corrente