Como calcular capacitância equivalente a uma bateria?

Eu tenho uma bateria de 1,25V 2Ah e estou tentando calcular uma capacitância equivalente com tensão nominal de 2,7V para cada uma dessas baterias. Isto é o que eu fiz:

Trabalho da bateria = $1.25V \cdot 2A \cdot 3600s = 9000J$

A partir da equação de trabalho do capacitor:

Isso está correto?

O que você calculou não é uma capacitância equivalente , mas a capacitância necessária para armazenar 9kJ de energia a 2,7V .

O fato de a bateria também poder armazenar tanta energia não significa que exista um capacitor equivalente a uma bateria.

Enquanto uma bateria ideal mantém a tensão em seus terminais até que a energia armazenada se esgote, a tensão em um capacitor ideal se aproximará de zero gradualmente à medida que a energia armazenada é esgotada.

Se o circuito conectado funcionar apenas corretamente acima de alguma tensão mínima, nem toda a energia armazenada no capacitor estará disponível para o circuito conectado .

Assim, é preciso primeiro especificar a queda de tensão permitida para determinar a capacitância necessária.

Por exemplo, estipule que $9kJ$ energia deve ser fornecida pelo capacitor antes que a tensão caia para $1V$.

Então:

Resolva para o C necessário:

Você forneceu fórmulas de conteúdo de energia para a bateria idealizada e um capacitor idealizado.
Isso sugere logicamente que, quando você fala sobre uma "capacitância equivalente" a uma bateria, você quer dizer um capacitor que armazena ou pode fornecer a mesma energia que a bateria de exemplo.

Em termos teóricos, seu cálculo está correto para uma bateria idealizada (tensão constante durante a descarga, capacidade definida em mAh) e um capacitor idealizado.

Em situações do mundo real, as fórmulas indicarão uma capacitância menor do que seria necessário na prática. O tamanho do capacitor depende do tamanho da carga. À medida que o capacitor descarrega, sua tensão cai. Para extrair toda a energia armazenada, a tensão teria que cair para 0V, o que é impraticável.

• Se a carga for, por exemplo, um "conversor de impulso" eletrônico que pode aceitar a faixa de tensões 'oferecidas' e converter a saída em uma tensão útil, a quantidade de energia que pode ser extraída em situações do mundo real pode ser superior a 80% ou mais a energia total armazenada no capacitor. Além da energia que não pode ser extraída por razões práticas, é necessário permitir as ineficiências do conversor - na prática, o melhor possível não será muito superior a 90% eficiente e, em muitos casos, cerca de 70% a 80% é mais provável.

• Se a carga exigir, por exemplo, tensão constante e você não usar um "conversor", mas usar um regulador linear, a energia disponível será reduzida ou muito reduzida em comparação com o que está armazenado no capacitor. O resultado pode ser calculado se a tensão de carga necessária for conhecida.
  Para um capacitor carregado em V = Vmáx, a energia fornecida a uma carga em uma tensão mais baixa V = Vout é dada por
  Energia = 0,5 x C x (Vmáx ^ 2 - Vmáx x Vout)
  [A derivação dessa fórmula simples, mas raramente vista, é deixado como um exercício para o aluno :-)]
  por exemplo, para um capacitor carregado em 4V que conduz uma carga de 2V através de um regulador linear idealizado, a energia disponível é de
  0,5 x C x (4 ^ 2-4x2) = 4C. Portanto, o uso de um regulador linear produz 4C / 6C ~ = 67% da perda de energia do capacitor neste caso.
  A perda de energia no capacitor é de 0,5 x C x (Vmax ^ 2 - Vou ^ 2) = 6C
  

• Um exemplo menos familiar de uma carga que pode aceitar uma ampla faixa de tensões do capacitor sem o uso de um conversor de impulso ou similar é uma carga CC acionada por PWM que pode aceitar energia a uma baixa tensão contínua E também aceita energia em pulsos curtos de alta corrente. Um elemento de aquecimento pode ser um exemplo disso. Tal arranjo permite que o capacitor seja acionado por um ciclo de serviço baixo PWM quando Vcap ~ = Vmax e para que o ciclo de trabalho seja aumentado, um Vcap cai. Nesse caso, a energia é usada na tensão do capacitor, não há necessidade de conversão de energia e a eficiência é limitada principalmente pelas perdas do comutador PWM. O uso de um MOSFET baixo Rdson moderno como um comutador pode permitir eficiências de 98 a 99% em situações práticas. [Atualmente, estou investigando esse arranjo para permitir que um capacitor com painel fotovoltaico carregue um elemento de aquecimento em uma ampla faixa de insolação solar].
  Uma alternativa que alcança o mesmo resultado é usar uma carga comutada em que vários resistores são comutados dentro ou fora do circuito, conforme necessário. Usando valores binários de resistores ponderados, pode ser construída uma carga capaz de aceitar uma ampla faixa de tensões, com potência APROXIMADAMENTE constante.

Como pode ser visto, uma bateria possui uma imensa quantidade de energia por seu tamanho e custo, comparada até aos capacitores "super" mais densos em energia.

Notas:

A razão pela qual, nos casos do mundo real, você geralmente precisa de mais capacitância do que o calculado é porque, para extrair toda a energia do capacitor, é necessário drená-la para zero volts. Nenhum processo do mundo real é excessivamente feliz ao iniciar em, digamos, 2,7V e terminar em 0,1V ou 0,05V ou 0,001V etc. Portanto, você precisa medir a mudança de energia ao descarregar de Vmax para Vlowest_usable.

Felizmente, como o conteúdo de energia do capacitor é proporcional a V ^ 2, a maior parte da energia foi extraída antes de atingir tensões muito baixas, portanto você não reduz muito a capacidade efetiva de energia. Em V = 50% x Vmax, a energia restante é (50% / 100%) ^ 2 = 25% e a energia consumida é 100-25 = 75%. Em 20% da Vmax de energia restante = (20/100) ^ 2 = 4%.

Se o capacitor aciona um conversor de impulso e inicia em 2,7V, 20% = 2,7 x .2 = 0,54V. Isso está "no lado mais baixo", mas vários conversores de impulso operam a 0,5V, mesmo que eles precisem dizer 0,8V a 1,0V para iniciar.

Energia consumida quando descarregada em uma faixa =

= 0,5 * C * Vmax ^ 2 - 0,5 * C * Vmin ^ 2

= 0,5 * C * (Vmax ^ 2 - Vmin ^ 2)

Portanto, para estabelecer a capacitância necessária para um determinado uso da bateria.
C = 2 x mAh x Vbat_mean / (Vmax ^ 2 - Vmin ^ 2)

Nesse caso, a descarga para 0,54V aumentaria a capacitância necessária apenas em cerca de 5%.

Para uma tensão de ponto final de 1V, você tem energia restante de 1V ^ 2 / 2,7V ^ 2 = ~ 14% de energia restante.
Então você precisa aumentar a capacitância em cerca de 100 / (100-14) = ~ 16%

Uma bateria e um capacitor são quase equivalentes.

Uma bateria tem uma voltagem que é uma função da química dos materiais dentro dela . Esta tensão é constante. À medida que a energia armazenada na bateria se esgota, a tensão diminui um pouco. Parte disso se deve ao aumento da resistência interna à medida que os reagentes dentro da bateria se esgotam. Mesmo assim, a tensão não diminui linearmente quando a bateria é descarregada: segue um declínio mais ou menos raso e depois cai de um penhasco no final.

Por exemplo, consulte estas curvas de descarga para algumas pilhas AA. Estes são de um teste no powerstream.com :

Também digno de nota, a tensão da bateria pode se recuperar se a carga for removida no meio do teste. Veja também: As baterias perdem a tensão à medida que são gastas?

Por outro lado, capacitores não são assim. Se você desenhasse uma curva de descarga semelhante à anterior para um capacitor, seria uma linha reta. Começaria à esquerda na tensão que você carregar no capacitor, diminuindo linearmente para 0V quando toda a energia armazenada for removida.

Além disso, sua pergunta sugere que talvez você acredite que " capacitância " seja uma medida da quantidade de "capacidade" que um capacitor possui. Não é. Capacitância é apenas uma proporção de carga elétrica (a integral da corrente) e tensão:

A unidade SI de capacitância, o Farad , é um coulomb por volt:

(observe aqui o C é coulomb, onde acima estava a capacitância)

Isso não diz nada sobre quanta energia o capacitor pode reter. De fato, um capacitor ideal de qualquer capacitância pode conter energia infinita. Capacitores reais quebram em alguma tensão máxima, e é isso que limita sua capacidade de armazenamento de energia.

Um problema com seus cálculos é que você assume que a tensão da bateria permanecerá constante em 1,25V até que esteja completamente descarregada. No entanto, a equação do capacitor usa uma mudança de tensão, de modo que assume que a tensão do capacitor cai para 0,0V quando toda a energia é removida do capacitor. Essa é uma diferença importante se você estiver planejando substituir uma bateria por um capacitor.

Na verdade, eu estou procurando algo semelhante - e foi assim que me deparei com esse tópico. Um amigo encontrou alguns vídeos de um cara que usa Boost / supercaps para dar partida no carro (existem vários vídeos no YT).

Isso me fez pensar sobre a relação entre a bateria do carro e um capacitor. Tudo acima é interessante (e preciso), mas talvez possa ser simplificado:

        A 2Ah battery has an equivelent charge flow of 2*3600 = 7200 coulombs

        So equivalent C = 7200/1.25 = 5760F

Qual é um capacitor bastante grande!

Usando a bateria de Phil Frost, sua tensão cai de 1,5V a 1,2V dentro de 1,6 horas a uma taxa constante de 0,1 A (suponha que o eixo horizontal esteja em horas, não em AH). O capacitor que faz a mesma coisa é:

Agora compare o custo de C com uma bateria recarregável equivalente.